A P. 5319. feladat (2021. április)

P. 5319. Vízszintes síkon elcsúsztatunk egy $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle \ell$ hosszúságú, vékony, homogén pálcát. Egy pillanatban a pálca egyik végének sebességvektora $\displaystyle \boldsymbol v_1$, a másiké $\displaystyle \boldsymbol v_2$. Mekkora ebben a pillanatban

$\displaystyle a)$ a pálca lendülete;

$\displaystyle b)$ a tömegközéppontra vonatkozó perdülete;

$\displaystyle c)$ a teljes mozgási energiája?

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A pálca végpontjainak pillanatnyi helyvektora (egy önkényesen választott $\displaystyle O$ ponthoz viszonyítva) legyen $\displaystyle \boldsymbol r_1$ és $\displaystyle \boldsymbol r_2$. A pálca felezőpontjába (tömegközéppontjába) mutató vektor:

$\displaystyle \boldsymbol r_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol r_1+\boldsymbol r_2 }{2}.$

Ennek a vektornak a változási sebessége

$\displaystyle \boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2},$

és így a pálca lendülete:

$\displaystyle \boldsymbol I=m \boldsymbol v_\text{tkp.}=m\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2}.$

Megjegyzés. A $\displaystyle \boldsymbol v_1$ és $\displaystyle \boldsymbol v_2$ vektorok nem választhatók meg tetszőlegesen, mert a pálca hossza időben állandó, emiatt a két sebesség különbsége a pálcára merőleges kell hogy legyen. Ha $\displaystyle \boldsymbol \ell$ a pálca egyik végétől a másik végéig mutató vektor, akkor a pálca hosszának állandóságát kifejező vektoregyenlet:

$\displaystyle \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)\cdot \boldsymbol \ell=0,\qquad\text{azaz}\qquad \boldsymbol v_1\cdot \boldsymbol \ell= \boldsymbol v_2\cdot \boldsymbol \ell.$

A fenti képletekben a ,,pont'' a vektorok skaláris szorzatát jelöli.

$\displaystyle b)$ A végpontoknak a tömegközépponthoz viszonyított sebessége:

$\displaystyle \boldsymbol u_1= \boldsymbol v_1 -\boldsymbol v_\text{tkp}=\frac{\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2}{2},$

illetve

$\displaystyle \boldsymbol u_2= \boldsymbol v_2 -\boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{\boldsymbol v_2-\boldsymbol v_1}{2}=-\boldsymbol u_1.$

A pálca tehetetlenségi nyomatéka

$\displaystyle \Theta=\frac{m\ell^2 }{12},$

a szögsebessége pedig

$\displaystyle \omega=\frac{\vert \boldsymbol u_1 \vert}{\ell/2}=\frac{1}{\ell}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert,$

és így a tömegközéppontra vanatkoztatott perdülete:

$\displaystyle N=\Theta\omega=\frac{m\ell}{12}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert.$

A perdületet egy – a síkra merőleges – vektorként is értelmezhetjük, ami $\displaystyle \boldsymbol\ell=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2$ segítségével így adható meg:

$\displaystyle \boldsymbol N= \frac{1}{12}m\,\boldsymbol \ell\times\left( \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right).$

(A ,,kereszt'' a vektoriális szorzatot jelöli. )

$\displaystyle c)$ A pálca teljes mozgási energiája a tömegközépponthoz tartozó mozgási energia és a forgási energia összegeként adható meg:

$\displaystyle E_{\text{összes}}=E_{\text{tkp.}}+E_{\text{forgás}}=\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2_{\text{tkp.}}+\frac{1}{2}\Theta\omega^2.$

A korábban kiszámított értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

$\displaystyle E_{\text{összes}} =\frac{m}{8}\, \left(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2\right)^2+\frac{m}{24} \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)^2=\frac{m}{6}\, \left(v_1^2+v_2^2+\boldsymbol v_1\cdot\boldsymbol v_2 \right).$

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Gábriel Tamás, Horváth 999 Anikó, Köpenczei Csanád, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Barna Benedek, Gurzó József, Hauber Henrik, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Szász Levente, Téglás Panna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai