Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5320. feladat (2021. április)

P. 5320. Függőleges falból két azonos magasságban bevert szög áll ki, melyek távolsága L. A szögekre egy kötelet fektetünk úgy, hogy annak belógása H. Becsüljük meg a kötél teljes hosszát, ha tudjuk, hogy

a) HL;

b) LH.

A súrlódás mindenütt elhanyagolható.

Közli: Berke Martin, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.


Megoldás. a) A kötél belógó részét a szegeknél egy-egy F3 nagyságú, érintő irányú erő tartja, aminek vízszintes összetevője ±F1, föggőleges komponense pedig F2, ami éppen a belógó rész súlyának a fele. Jelöljük a kötél hosszegységre eső súlyát γ-val, a függőlegesen lelógó rész hosszát pedig X-szel (1. ábra).

1. ábra

a) Legyen HL. Ekkor a belógó kötél hossza jó közelítéssel L-nek vehető, így a súlya γL, és az egyensúlyának feltétele:

(1)2F2=γL.

A függőlegesen lelógó rész súlya γX, és ezt a kötéldarabot függőlegesen felfelé a kötél többi része F3 erővel húzza. Az erők egyensúlyának feltétele:

(2)F3=γX.

Mivel HL, a két szög és a kötél felezőpontja majdnem egy egyenesbe esik, így a rájuk illeszkedő görbe jó közelítéssel parabola. A kötél érintőjének meredeksége a szög közvetlen közelében

tgα=F2F1,

ami a parabola ismert tulajdonsága szerint

tgα=4HL.

Fennáll tehát, hogy

(3)F2F1=4HL1,

és így

(4)F3=F21+F22F1.

Az (1)-(4) összefüggések egybevetéséből kapjuk, hogy

XL28H,

így a kötél teljes hossza:

=2X+L=L24H(1+4HL)L24H.

b) LH esetén a belógó kötél mindkét fele majdnem függőleges (2. ábra), így XH, és a teljes kötélhossz

2X+2H4H.

2. ábra

Megjegyzés. Elég hosszú kötéllel mind az a), mind a b) helyzet megvalósítható. Mindkét helyzet instabil az aszimmetrikus változtatásokkal szemben, a szimmetrikus változtatások esetén az a) eset stabil, míg a b) eset instabil (a kötél vagy lecsúszik, vagy átmegy az a) helyzetbe).


Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Dóra Márton, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:Barna Benedek.
3 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai