A P. 5324. feladat (2021. április)

P. 5324. Közép-Afrikában, egy Kinshasa melletti uránbányában az egyik műszak által kibányászott kőzet uránszurokérc ($\displaystyle \mathrm{U}_3\mathrm{O}_8$) tartalma 10 tonna volt.

Becsüljük meg, hogy mennyi rádium volt a kőzetben!

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A természetes urán legnagyobb része 238-as izotóp, aminek a bomlási sorában a rádium 226-os izotópja jelenik meg. Az $\displaystyle \rm U_3O_8$ moláris tömege: $\displaystyle 3\cdot 238+8\cdot 16=842$ g/mol, a rádiumé 226 g/mol. 10 tonna uránszurokércben az urán tömege:

$\displaystyle m_{\rm U}=\frac{3\cdot 238}{842}\cdot 10~{\rm tonna}=8{,}48\cdot10^3~{\rm kg},$

az urán atommagok mennyisége tehát

$\displaystyle n_{\rm U}=\frac{8{,}48\cdot10^3~{\rm kg}}{238~~\rm g/mol}=3{,}56~\cdot10^4~{\rm mol}.$

Az urán 238 felezési ideje $\displaystyle 4{,}5\cdot10^9~\text{év}$, a rádiumé 1600 év. A rádium mennyiségét – egyensúlyi állapotban – az szabja meg, hogy időegységenként ugyanannyi uránmag bomlik el, mint amannyi rádium. Ez a két aktivitás akkor egyezik meg, ha

$\displaystyle \frac{n_{\rm Ra}}{n_{\rm U}}=\frac{T^{1/2}_{\rm Ra}}{T^{1/2}_{\rm U}},$

vagyis a rádium mennyisége:

$\displaystyle n_{\rm Ra}=\left(3{,}56~\cdot10^4~{\rm mol}\right)\cdot\frac{1600~\text{év}}{4{,}5\cdot10^9~\text{év}}=0{,}0127~\rm mol,$

és így a rádium tömege:

$\displaystyle m_{\rm Ra}=\left(0{,}0127~{\rm mol}\right)\cdot 226~\frac{\rm g}{\rm mol}=2{,}87~{\rm g}\approx 3~{\rm g}.$

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna Benedek, Bonifert Balázs, Dózsa Levente, Fekete András Albert, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Somlán Gellért, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Koleszár Benedek, Téglás Panna.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai