A P. 5326. feladat (2021. május)

P. 5326. Egy ismeretlen magasságú toronyból elejtünk egy testet, amely szabadon esik. A közegellenállástól eltekintünk.

\(\displaystyle a)\) A torony magasságát gondolatban osszuk két egyenlő részre. Határozzuk meg a két egyenlő szakaszon számított átlagsebességek arányát!

\(\displaystyle b\)) Hogyan osszuk fel két részre a \(\displaystyle h = 45\) méteres torony magasságát, hogy a második szakaszon számított átlagsebesség négyszerese legyen az első szakaszon számított átlagsebességnek?

Közli: Kotek László, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen a torony magassága \(\displaystyle h\). A test sebessége a torony tetejénél \(\displaystyle v_0=0\), a közepénél (\(\displaystyle H/2\) magasságban) \(\displaystyle v_1=\sqrt{gh},\) az aljánál pedig \(\displaystyle v_2=\sqrt{2gh}.\)

Egyenletesen gyorsuló mozgásnál a sebesség az idő lineáérisan változó függvénye, így az átlagsebesség a kezdeti és a végső sebesség számtani közepe:

\(\displaystyle \overline{v}_1=\frac{v_0+v_1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{gh},\qquad\text{illetve}\qquad \overline{v}_2=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\sqrt{gh}.\)

A két átlagsebesség aránya:

\(\displaystyle \frac{\overline{v}_2}{\overline{v}_1}=1+\sqrt{2}\approx 2{,}4.\)

\(\displaystyle b)\) Legyen az osztáspont a torony tetejétől \(\displaystyle x\) távolságban. Ekkor \(\displaystyle v_1=\sqrt{2gx}\) és \(\displaystyle v_2=\sqrt{2gh},\) tehát az átlagsebességek:

\(\displaystyle \overline{v}_1=\frac{v_0+v_1}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2gx},\qquad\text{illetve}\qquad \overline{v}_2=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{\sqrt{2gx} + \sqrt{2gh}} {2} .\)

A megadott \(\displaystyle 1:4\) arány akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{h}=4\sqrt{x},\qquad \text{azaz}\qquad \sqrt{x}=\frac{1}{3}\sqrt{h},\)

vagyis \(\displaystyle x=\frac{h}{9}=5~\rm m.\)

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Bonifert Balázs, Csapó Tamás, Csonka Illés, Dóra Márton, Fekete András Albert, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kaltenecker Balázs Bence, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Kovács Benedek Noel, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László.
3 pontot kapott:	Horváth 221 Zsóka, Selmi Bálint, Strinyi Péter, Szabó Márton, Szász Levente, Tanner Norman.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai