A P. 5331. feladat (2021. május)

P. 5331. Régi, népi játékszer a ,,krumplilövettyű'', ami egy 12 cm hosszú, 0,3 cm$\displaystyle ^2$ belső keresztmetszetű bodzacső. A cső két végét egymás után egy-egy 1 cm hosszúságú krumplihengerrel dugaszoljuk el.

Az egyik krumplidugó a lövedék, a másik pedig a dugattyú szerepét tölti be. A krumplihengerek jól tömítik a csövet, egy ilyen henger megmozdításához (a tapadás legyőzéséhez) legalább 4 N erőt kell kifejtenünk. A csőben mozgó krumplidugóra 3,5 N nagyságú súrlódási erő hat. Miközben a lövedék távozik a bodzacsőből, a rá ható súrlódási erő a csőben lévő hosszával egyenesen arányosan csökken 0-ra. (A krumpli sűrűsége 1,06 g/cm$\displaystyle ^3$, a külső légnyomás $\displaystyle 10^5$ Pa.)

$\displaystyle a)$ Mennyi a mindkét végén lezárt, ,,megtöltött'' állapotban lévő lövettyűben lévő levegő nyomása?

$\displaystyle b)$ Egy fapálca segítségével a dugattyút lassan addig toljuk a csőben, amíg a lövedéknek szánt krumplihenger egy pukkanás kíséretében hirtelen ki nem repül. Mennyi munkát kell végeznünk a megtöltött lövettyű elsütéséhez?

$\displaystyle c)$ Mekkora sebességgel hagyja el a lövedék a csövet?

Közli: Kis Tamás, Heves

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A folyamat jellegzetes pillanatait az ábra mutatja.

$\displaystyle (i)$ A tárgyalást kezdhetjük annál az állapotnál, amikor a lövedék már a csőben van, de a dugattyút még nem toltuk bele a csőbe. A csőben a levegő nyomása ekkor $\displaystyle p_0$.

Érdemes megjegyezni, hogy a cső $\displaystyle A$ nagyságú keresztmetszetén a külső légnyomás $\displaystyle p_0A=3~\rm N$ erőt fejt ki. (Ezt az összefüggést a továbbiakban többször is felhasználjuk.)

$\displaystyle (ii)$ Lassan betoljuk az 1 cm hosszú dugattyút is a csőbe. A bent lévő levegő állapotváltozása izotermikus, a nyomás (a Boyle–Mariott-törvény szerint

$\displaystyle p_1=\frac{11~\rm cm}{10~\rm cm}p_0=1{,}1~p_0$

értékre nő meg.

Az általunk végzett munka három részből tehető össze:

– Az átlagos súrlódási erő ellenében végzett munka:

$\displaystyle W_\text{súrl.}=\frac{3{,}5~\rm N}{2}\cdot (1~{\rm cm})=0{,}0175~\rm J.$

– A gázon végzett izotermikus munkavégzés:

$\displaystyle W_\text{gázon}=p_0V_0\ln\frac{p_1}{p_0}=p_0A\cdot(0{,}11~{\rm m})\cdot\ln 1{,}1=0{,}0315~\rm J.$

– A $\displaystyle p_0$ nyomású légkör térfogata megnő, ennek megfelelő munkavégzésünk:

$\displaystyle W_\text{légkör}=-p_0A\cdot (0{,}01~\rm m)=-0{,}030~\rm J.$

A puska megtöltése során végzett összes munkánk:

$\displaystyle W_{(i)\rightarrow(ii)}=W_\text{súrl.}+W_\text{gázon}+W_\text{légkör}=0{,}019~\rm J.$

$\displaystyle (iii)$ Ha a dugattyút (lassan) $\displaystyle x$ cm-rel beljebb toljuk a csőbe, a bezárt levegő nyomása izotermikusan

$\displaystyle p_2=\frac{10}{10-x}p_1=\frac{11}{10-x}p_0$

értékre nő. A lövedék akkor mozdul meg a csőben, ha

$\displaystyle p_2A=p_0A+(4~\rm N)=7~\rm N,$

vagyis

$\displaystyle p_2=\frac{7}{3}p_0=\frac{7}{3}p_0.$

Az izotermikus állapotegyenlet szerint ez akkor teljesül, ha

$\displaystyle \frac{11}{10-x}p_0=\frac{7}{3}p_0,$

ahonnan

$\displaystyle x=\frac{37}{7}\approx 5{,}29.$

A megtöltött krumplipuska dugattyúját tehát 5,29 cm-rel kell betoljuk a csőbe, ekkor fog a puska ,,elsülni''.

Az általunk végzett munka most is három részből tehető össze:

– A súrlódási erő ellenében végzett munka:

$\displaystyle W_\text{súrl.}= {3{,}5~\rm N} \cdot (5{,}29~{\rm cm})=0{,}185~\rm J.$

– A gázon végzett izotermikus munkavégzés:

$\displaystyle W_\text{gázon}=p_0V_0\ln\frac{p_2}{p_1}=p_0A\cdot(0{,}11~{\rm m})\cdot\ln\frac{7/3}{1{,}1} =0{,}248~\rm J.$

– A $\displaystyle p_0$ nyomású légkör térfogata megnő, ennek megfelelő munkavégzésünk:

$\displaystyle W_\text{légkör}=-p_0A\cdot (0{,}053~\rm m)=-0{,}159~\rm J.$

A már megtöltött puska elsütéséig végzett összes munkánk:

$\displaystyle W_{(ii)\rightarrow(iii)}=W_\text{súrl.}+W_\text{gázon}+W_\text{légkör}=0{,}274~\rm J.$

$\displaystyle (iv)$ A már megmozdult lövedékre korábban ható tapadó súrlódási erő lecsökken 3,5 N-nyi csúszási súrlódásra, és emiatt a lövedék (krumplidugó) hirtelen elhagyja a csövet. A gyors folyamatban adiabatikus állapotváltozás történik, és a nyomás 1 cm út megtétele után lecsökken valamekkora $\displaystyle p_3$ értékre. Az adiabatikus tágulás $\displaystyle pV^\kappa=\text{állandó}$ állapotegyenlete szerint

$\displaystyle p_3(11-x)^{1{,}4}=p_2(10-x)^{1{,}4},$

azaz

$\displaystyle p_3=\frac{7}{3}p_0\cdot \left(\frac{10-x}{11-x}\right)^{1{,}4}=1{,}78\,p_0.$

A lövedék kirepülése közben az adiabatikusan táguló gáz nem vesz fel és nem ad le hőt, a gáz által végzett tágulási munka tehát a belső energiájának csökkenésével egyezik meg:

$\displaystyle W_\text{gáz}=\frac{5}{2}\left(p_2V_2-p_3V_3\right)= \frac{5}{2}p_0A\left[2{,}33\cdot(10-x)-1{,}78\cdot(11-x) \right]= =0{,}061 ~\rm J.$

Ha ebből levonjuk a súrlódási erő $\displaystyle 0{,}017~\rm J$ munkáját és a légkör ,,megemeléséhez'' szükséges 0,030 J munkát, a lövedék mozgási energiájára

$\displaystyle W_{(iii)\rightarrow(iv)}=E_{\rm m}=\frac{1}{2}mv^2=0{,}014~\rm J$

energia marad. A krumplilövedék tömege 0,32 g, így a torkolati sebessége

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{2E_{\rm m}}{m}}\approx 9~\frac{\rm m}{\rm s}.$

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mozolai Bende Bruno, Somlán Gellért, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Mócza Tamás István.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai