 |
A P. 5332. feladat (2021. május) |
P. 5332. \(\displaystyle L = 0{,}2\) m hosszúságú szigetelőfonálon függ egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle Q = 1~\mu\)C töltésű golyócska. A felfüggesztés alatt \(\displaystyle 2L\) távolságban van egy ugyanakkora, rögzített, \(\displaystyle Q\) ponttöltés.
\(\displaystyle a)\) Hogyan függ a fonál függőlegessel bezárt szöge az \(\displaystyle m\) tömegtől?
\(\displaystyle b)\) Legalább mekkora legyen \(\displaystyle m\), hogy a két golyó közti távolság \(\displaystyle L\) legyen?
\(\displaystyle c)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle m\), hogy a két golyó közti távolság \(\displaystyle 3L\) legyen?
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a fonál \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, akkor a töltések távolsága (a koszinusztétel szerint)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle d=\sqrt{(2L)^2+L^2-2L\cdot L\cdot \cos\alpha}=L\sqrt{5-4\cos \alpha}.\) |
A két töltés között ható (taszító) Coulomb-erő nagysága:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle F(\alpha)=k\frac{Q^2}{d^2},\) |
a nehézségi erő pedig
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle G=mg.\) |
1. ábra
A felfüggesztett golyócska akkor lehet egyensúlyban, ha \(\displaystyle \boldsymbol F\) és \(\displaystyle \boldsymbol G\) eredője a fonál irányába mutat, vagyis ezen két erőnek a fonálra merőleges (érintő irányú) komponense egyforma nagyságú. Az 1. ábrán látható jelölésekkel az egyensúly feltétele:
\(\displaystyle G\,\sin\alpha=F\,\cos(\gamma-90^\circ),\)
vagyis
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle G\,\sin\alpha=F\,\sin\gamma.\) |
Az ábrán látható háromszögre felírható szinusztétel szerint
\(\displaystyle \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{2L}{d},\)
és így az egyensúly (4) feltétele:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle mg\cdot\sin\alpha=k\frac{2Q^2L}{d^3}\cdot\sin\alpha.\) |
Az \(\displaystyle \alpha=0\) helyzethez tartozó elektrosztatikus erő és a nehézségi erő hányadosára érdemes bevezetni a
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \lambda=k\frac{Q^2}{L^2mg}\) |
dimenziótlan mennyiséget. Ennek segítségével az (5) egyensúlyi egyenlet:
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle \sin\alpha\, \left(2\lambda\frac{L^3}{d^3}-1\right)=0.\) |
Az \(\displaystyle \alpha=0\) és \(\displaystyle \alpha=180^\circ\) helyzetek nyilván egyensúlyi állapotok, azonban ezek – a töltések és a tömeg nagyságától függően – lehetnek stabil vagy instabil egyensúlyi helyzetek. Emellett figyelembe kell vegyük azt is, hogy \(\displaystyle \lambda>1\) esetén az legalsó (\(\displaystyle \alpha=0\)) helyzetben a fonál meglazul, és ugyanez történik \(\displaystyle \lambda<9\) esetén az \(\displaystyle \alpha=180^\circ\)-os felső helyzetben.
További egyensúlyi helyzetek is lehetségesek, ha a (7)-ben szerepló zárójeles tényező válik nullává, vagyis ha (1)-et felhasználva teljesül, hogy
\(\displaystyle 2\lambda\left(5-4\cos\alpha\right)^{- {3}/{2}}=1,\)
azaz
| \(\displaystyle (8)\) | \(\displaystyle \cos\alpha=\frac{5-(2\lambda)^{2/3}}{4}.\) |
Mivel \(\displaystyle -1\le\cos\alpha\ge 1\), (8)-nak csak akkor van megoldása, ha
\(\displaystyle \frac{1}{2}\le\lambda\le \frac{27}{2}.\)
2. ábra
A 2. ábra a lehetséges egyensúlyi helyzetekhez tartozó szögeket mutatja a \(\displaystyle \lambda\) paraméter (ami kifejezhető az \(\displaystyle m\) tömeggel) függvényében. A folytonos (vastag) vonal a stabil, a szaggatott vonal pedig az instabil állapotat jelzi. (Az instabil állapotok vonala a fonál meglazulása miatt szakad meg \(\displaystyle \lambda=1\) és \(\displaystyle \lambda=9\) értékeknél.)
\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle \lambda\le \frac12\), vagyis
\(\displaystyle m\ge \frac{2kQ^2}{L^2g}=\frac{2\cdot\cdot9\cdot10^9\cdot 10^{-12}}{0{,}04\cdot 9{,}81}~{\rm kg}\approx 46~\rm g,\)
akkor \(\displaystyle \alpha=0\), tehát a két golyó távolsága \(\displaystyle L\) marad.
\(\displaystyle c)\) Ha \(\displaystyle \lambda\ge \frac{27}2\), vagyis
\(\displaystyle m\le \frac{2\,kQ^2}{27\,L^2g}\approx 1{,}7~\rm g,\)
akkor \(\displaystyle \alpha=180^\circ\), tehát a két golyó távolsága \(\displaystyle 3L\) lesz.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Mozolai Bende Bruno, Téglás Panna, Toronyi András. 4 pontot kapott: Kovács Kinga, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai