A P. 5332. feladat (2021. május)

P. 5332. $\displaystyle L = 0{,}2$ m hosszúságú szigetelőfonálon függ egy $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle Q = 1~\mu$C töltésű golyócska. A felfüggesztés alatt $\displaystyle 2L$ távolságban van egy ugyanakkora, rögzített, $\displaystyle Q$ ponttöltés.

$\displaystyle a)$ Hogyan függ a fonál függőlegessel bezárt szöge az $\displaystyle m$ tömegtől?

$\displaystyle b)$ Legalább mekkora legyen $\displaystyle m$, hogy a két golyó közti távolság $\displaystyle L$ legyen?

$\displaystyle c)$ Legfeljebb mekkora lehet $\displaystyle m$, hogy a két golyó közti távolság $\displaystyle 3L$ legyen?

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Ha a fonál $\displaystyle \alpha$ szöget zár be a függőlegessel, akkor a töltések távolsága (a koszinusztétel szerint)

A két töltés között ható (taszító) Coulomb-erő nagysága:

a nehézségi erő pedig

1. ábra

A felfüggesztett golyócska akkor lehet egyensúlyban, ha $\displaystyle \boldsymbol F$ és $\displaystyle \boldsymbol G$ eredője a fonál irányába mutat, vagyis ezen két erőnek a fonálra merőleges (érintő irányú) komponense egyforma nagyságú. Az 1. ábrán látható jelölésekkel az egyensúly feltétele:

$\displaystyle G\,\sin\alpha=F\,\cos(\gamma-90^\circ),$

vagyis

Az ábrán látható háromszögre felírható szinusztétel szerint

$\displaystyle \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{2L}{d},$

és így az egyensúly (4) feltétele:

Az $\displaystyle \alpha=0$ helyzethez tartozó elektrosztatikus erő és a nehézségi erő hányadosára érdemes bevezetni a

dimenziótlan mennyiséget. Ennek segítségével az (5) egyensúlyi egyenlet:

Az $\displaystyle \alpha=0$ és $\displaystyle \alpha=180^\circ$ helyzetek nyilván egyensúlyi állapotok, azonban ezek – a töltések és a tömeg nagyságától függően – lehetnek stabil vagy instabil egyensúlyi helyzetek. Emellett figyelembe kell vegyük azt is, hogy $\displaystyle \lambda>1$ esetén az legalsó ($\displaystyle \alpha=0$) helyzetben a fonál meglazul, és ugyanez történik $\displaystyle \lambda<9$ esetén az $\displaystyle \alpha=180^\circ$-os felső helyzetben.

További egyensúlyi helyzetek is lehetségesek, ha a (7)-ben szerepló zárójeles tényező válik nullává, vagyis ha (1)-et felhasználva teljesül, hogy

$\displaystyle 2\lambda\left(5-4\cos\alpha\right)^{- {3}/{2}}=1,$

azaz

Mivel $\displaystyle -1\le\cos\alpha\ge 1$, (8)-nak csak akkor van megoldása, ha

$\displaystyle \frac{1}{2}\le\lambda\le \frac{27}{2}.$

2. ábra

A 2. ábra a lehetséges egyensúlyi helyzetekhez tartozó szögeket mutatja a $\displaystyle \lambda$ paraméter (ami kifejezhető az $\displaystyle m$ tömeggel) függvényében. A folytonos (vastag) vonal a stabil, a szaggatott vonal pedig az instabil állapotat jelzi. (Az instabil állapotok vonala a fonál meglazulása miatt szakad meg $\displaystyle \lambda=1$ és $\displaystyle \lambda=9$ értékeknél.)

$\displaystyle b)$ Ha $\displaystyle \lambda\le \frac12$, vagyis

$\displaystyle m\ge \frac{2kQ^2}{L^2g}=\frac{2\cdot\cdot9\cdot10^9\cdot 10^{-12}}{0{,}04\cdot 9{,}81}~{\rm kg}\approx 46~\rm g,$

akkor $\displaystyle \alpha=0$, tehát a két golyó távolsága $\displaystyle L$ marad.

$\displaystyle c)$ Ha $\displaystyle \lambda\ge \frac{27}2$, vagyis

$\displaystyle m\le \frac{2\,kQ^2}{27\,L^2g}\approx 1{,}7~\rm g,$

akkor $\displaystyle \alpha=180^\circ$, tehát a két golyó távolsága $\displaystyle 3L$ lesz.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Mozolai Bende Bruno, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Kovács Kinga, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai