 |
A P. 5335. feladat (2021. május) |
P. 5335. Ha tiszta \(\displaystyle {}^{238}\mathrm{Pu}\)-ból készítenénk egy 8 cm átmérőjű, tömör golyót, annak felszíne hány Celsius-fok hőmérsékletre állna be, ha a \(\displaystyle -270\) Celsius-fokos világűr egy mindentől távoli pontján magára hagynánk?
(Ilyen izotópot használnak a Naptól távol haladó, ,,mélyűri'' űrszondák energiaellátására a radioizotópos termoelektromos generátorokban.)
Közli: Vass Miklós, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az adatokból kiszámítható, hogy a golyó térfogata \(\displaystyle V=268~\rm cm^3\), tömege \(\displaystyle m=5{,}30~\rm kg\), felszíne \(\displaystyle S=0{,}02~\rm m^2\). Ennyi anyagban
\(\displaystyle n=\frac{5{,}30~\rm kg}{238~\rm g/mol}=22{,}2~{\rm mol},\)
vagyis
\(\displaystyle N_0=n\cdot R_A=22\cdot 6{,}02\cdot10^{23}=1{,}32\cdot10^{25}\)
darab bomlékony atommag található.
Az izotóp felezési idejéből kiszámítható a bomlásállandó és az egész golyó aktivitása:
\(\displaystyle \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=2{,}5\cdot10^{-10}~{\rm s}^{-1},\qquad \text{illetve}\qquad A= N_0\lambda=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1},\)
a leadott hőteljesítmény tehát
\(\displaystyle P=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1}\cdot 5{,}5~{\rm MeV}= \left(3{,}3\cdot 10^{15}\right)\cdot \left(5{,}5\cdot10^6\right)\cdot\left(1{,}6\cdot10^{-19}\right)~\frac{{\rm J}}{\rm s} \approx 2{,}9~{\rm kW}.\)
A golyó egyensúlyi hőmérsékletét \(\displaystyle T_0=3~\rm K\) hőmérsékletű környezetben a felvett és a leadott teljesítmények egyenlősége határozza meg. (A bomlások során keletkező \(\displaystyle \alpha\)-részecskék legnagyobb része még a gömb belsejében elnyelődik, így a mozgásienergiájuknak megfelelő hő fejlődik.) Ha a plútóniumgömböt abszolút fekete testnek tekintjük:
\(\displaystyle P+\sigma A T_0^4=\sigma A T ^4.\)
A hideg környezetben az elnyelt sugárzás teljesítménye elhanyagolhatóan kicsi, így
\(\displaystyle P\approx\sigma S T ^4,\)
vagyis
\(\displaystyle T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma A}}\approx 1270~{\rm K}\approx 1000\,^\circ\rm C.\)
(Ez a hőmérséklet magasabb, mint a plútónium kb. \(\displaystyle 640\,^\circ\rm C\)-os olvadáspontja, ezért a gömb – a megadott számadatok mellett – megolvad. )
\(\displaystyle ^{238}\rm Pu\) által termelt hő és termoelemek segítségével fejlesztett elektromos áramot használ fel többek között a Curiosity Mars-jármű is.
Statisztika:
11 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bonifert Balázs, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Kozák Gergely, Tóth Ábel, Török 111 László.
A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai