A P. 5335. feladat (2021. május)

P. 5335. Ha tiszta $\displaystyle {}^{238}\mathrm{Pu}$-ból készítenénk egy 8 cm átmérőjű, tömör golyót, annak felszíne hány Celsius-fok hőmérsékletre állna be, ha a $\displaystyle -270$ Celsius-fokos világűr egy mindentől távoli pontján magára hagynánk?

(Ilyen izotópot használnak a Naptól távol haladó, ,,mélyűri'' űrszondák energiaellátására a radioizotópos termoelektromos generátorokban.)

Közli: Vass Miklós, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az adatokból kiszámítható, hogy a golyó térfogata $\displaystyle V=268~\rm cm^3$, tömege $\displaystyle m=5{,}30~\rm kg$, felszíne $\displaystyle S=0{,}02~\rm m^2$. Ennyi anyagban

$\displaystyle n=\frac{5{,}30~\rm kg}{238~\rm g/mol}=22{,}2~{\rm mol},$

vagyis

$\displaystyle N_0=n\cdot R_A=22\cdot 6{,}02\cdot10^{23}=1{,}32\cdot10^{25}$

darab bomlékony atommag található.

Az izotóp felezési idejéből kiszámítható a bomlásállandó és az egész golyó aktivitása:

$\displaystyle \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=2{,}5\cdot10^{-10}~{\rm s}^{-1},\qquad \text{illetve}\qquad A= N_0\lambda=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1},$

a leadott hőteljesítmény tehát

$\displaystyle P=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1}\cdot 5{,}5~{\rm MeV}= \left(3{,}3\cdot 10^{15}\right)\cdot \left(5{,}5\cdot10^6\right)\cdot\left(1{,}6\cdot10^{-19}\right)~\frac{{\rm J}}{\rm s} \approx 2{,}9~{\rm kW}.$

A golyó egyensúlyi hőmérsékletét $\displaystyle T_0=3~\rm K$ hőmérsékletű környezetben a felvett és a leadott teljesítmények egyenlősége határozza meg. (A bomlások során keletkező $\displaystyle \alpha$-részecskék legnagyobb része még a gömb belsejében elnyelődik, így a mozgásienergiájuknak megfelelő hő fejlődik.) Ha a plútóniumgömböt abszolút fekete testnek tekintjük:

$\displaystyle P+\sigma A T_0^4=\sigma A T ^4.$

A hideg környezetben az elnyelt sugárzás teljesítménye elhanyagolhatóan kicsi, így

$\displaystyle P\approx\sigma S T ^4,$

vagyis

$\displaystyle T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma A}}\approx 1270~{\rm K}\approx 1000\,^\circ\rm C.$

(Ez a hőmérséklet magasabb, mint a plútónium kb. $\displaystyle 640\,^\circ\rm C$-os olvadáspontja, ezért a gömb – a megadott számadatok mellett – megolvad. )

$\displaystyle ^{238}\rm Pu$ által termelt hő és termoelemek segítségével fejlesztett elektromos áramot használ fel többek között a Curiosity Mars-jármű is.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Kozák Gergely, Tóth Ábel, Török 111 László.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai