A P. 5336. feladat (2021. május)

P. 5336. Elég nagy kiterjedésű, széles, sík mező fölött 2 km magasan repül egy szuperszonikus vadászgép vízszintes irányban. A gép hangját a mezőn álló három, egymástól páronként 14 km-re lévő megfigyelő egyszerre hallja meg. A repülőgép éppen az egyik megfigyelő feje felett repül el. Mekkora a vadászgép sebessége?

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. A $\displaystyle H=2$ km magasságban $\displaystyle v$ sebességgel haladó vadászgép $\displaystyle c$ sebességű hangterjedés ($\displaystyle v>c$) esetén egy olyan $\displaystyle \alpha$ félnyílásszögű kúpot (ún. Mach-kúpot) ,,húz maga után'', amelyre teljesül, hogy

$\displaystyle \frac{c}{v}=\sin\alpha.$

A Mach-kúp felületének pontjaiba egyszerre érkezik meg a repülőgép hangja. A Mach-kúp és a vízszintes, sík mező közös pontjai egy olyan hiperbolán helyezkednek el, amelynek aszimptotái $\displaystyle 2\alpha$ szöget zárnak be egymással, és a hiperbola két ágának távolsága $\displaystyle 2H\,\ctg\alpha$ (1. ábra).

1. ábra

Három megfigyelő akkor hallja meg egyszerre a repülőgép hangját, ha az általuk meghatározott $\displaystyle L=14~$km oldalélű, szabályos háromszög illeszkedik a hiperbolára. Mivel a gép éppen az egyik ($\displaystyle A$-val jelölt) megfigyelő feje felett repül el, a gép pályájának vetülete a mezőn (ami a hiperbola egyik tengelye) áthalad az $\displaystyle A$ ponton. A másik két megfigyelő erre a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el, hiszen az $\displaystyle A$-tól mért távolságuk ugyanakkora (2. ábra).

2. ábra

A három megfigyelő koordinátái:

$\displaystyle A: \qquad (H\,\ctg\alpha, 0),$

$\displaystyle B: \qquad \left( \ctg\alpha\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2+H^2}, \frac{L }{2}\right),$

$\displaystyle C: \qquad \left( \ctg\alpha\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2+H^2}, -\frac{L }{2}\right).$

Az adatok behelyettesítése után ezt kapjuk:

$\displaystyle \ctg\alpha(\sqrt{53}-2)+7^2=14^2,$

ahonnan

$\displaystyle \tg\alpha=0{,}435 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha=23{,}5^\circ,$

tehát

$\displaystyle M=\frac{v}{c}=\frac{1}{\sin\alpha}\approx 2{,}5.$

A repülőgép tehát 2,5 mach-hal (vagyis a hangsebesség 2,5-szörösével), mintegy 3060 km/h sebességgel repült.

II. megoldás. Képzeljük magunkat az egyik megfigyelő helyébe. A tőlünk $\displaystyle H$ távolságban lévő egyenes mentén a repülő $\displaystyle v$ sebességgel mozog, a kibocsátott hang pedig $\displaystyle c$ $\displaystyle (c<v)$ sebességgel. Az, hogy a repülő különböző időpillanatokban kibocsátott hangja mikor érkezik legelőször hozzánk, a repülő távolságától és a sebességének felénk mutató $\displaystyle v_r$ (radiális) komponensétől függ. Mindaddig, amíg $\displaystyle v_r>c$, a repülő ,,lehagyja'' a hangját. Hozzánk az a hang érkezik meg legelőször, ami a $\displaystyle v_r=c$ egyenlőségnek megfelelő helyről indult ki, vagyis amikor a fokozatosan csökkenő radiális sebességkomponens átlépi a hangsebességet. (Ilyenkor a hozzánk érkező hang intenzitása is lényegesen megnő, ezért érzékelünk ,,hangrobbanást''.)

3. ábra

Válasszuk az időmérés kezdőpontját úgy, hogy a repülőgép éppen a ,,fejünk felett'' (a hozzánk legközelebbi pontban) legyen $\displaystyle t=0$. Számítsuk ki, hogy mikor (milyen $\displaystyle T$ időpontban) érkezik hozzánk először a hang. A 3. ábráról leolvashatjuk, hogy a hangsebesség átlépése annál a $\displaystyle P$ pontnál következik be, amely a röppálya hozzánk legközelebbi $\displaystyle K$ pontjába mutató egyenessel bezárt szögre

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{c}{v}$

teljesül. Mivel a $\displaystyle PK$ távolság $\displaystyle H\tg\alpha$, a $\displaystyle P$ pontba

$\displaystyle t_0=-\frac{H}{v}\tg\alpha$

időpillanatban érkezik a repülőgép. Innen a hangnak $\displaystyle \frac{H}{\cos\alpha}$ utat kell még megtennie, hogy hozzánk érkezzen, így

Tekintsük a szabályos háromszög csúcsaiban elhelyezkedő három megfigyelőt ,,felülről'' nézve (4. ábra). (A távolságokat kilométer egységekben mérjük.) Feltehetjük, hogy a repülő az $\displaystyle A$ ponthoz tartozó magasságvonal felett repül el $\displaystyle H=2$ km magasságban. A hangja (1) szerint

$\displaystyle T_A=\frac{2}{v}\ctg\alpha$

időpontban érkezik az $\displaystyle A$ megfigyelőhöz.

4. ábra

A $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ megfigyelők a repülőgép pályájától

$\displaystyle H'=\sqrt{7^2+2^2}= \sqrt{53}$

egység távolságra vannak, hozzájuk tehát

$\displaystyle T_B=T_C=\frac{\sqrt{53}}{v}\ctg\alpha-\frac{ 7\sqrt{3}}{v}$

időpontban érkezik meg a legelső hang. (A képlet jobb oldalának második tagja azt veszi figyelembe, hogy a repülőgépnek $\displaystyle v$ sebességgel meg kell tennie az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$-hez legközelebbi helyzeteknek megfelelő $\displaystyle 7\sqrt{3}$ km-nyi távolságot.)

A $\displaystyle T_A=T_B=T_C$ feltétel akkor teljesül, ha

$\displaystyle 2\ctg\alpha=\sqrt{53}\ctg\alpha-7\sqrt{3},$

vagyis

$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{53}-2}=2{,}29,$

ahonnan $\displaystyle \alpha =23{,}5^\circ,$ vagyis

$\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{1}{\sin\alpha}\approx 2{,}5.$

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Kertész Balázs, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai