A P. 5340. feladat (2021. szeptember)

P. 5340. A földönkívüli civilizációk után kutatók egyik nagy rádiótávcsöve egy távoli égitest irányából az ábrán látható furcsa, változó frekvenciájú jeleket észlelte. A jelek 45 percen keresztül folyamatosan érkeztek, utána 45 perc szünet következett, majd ismét 45 percnyi jel stb. Az észlelt jel frekvenciájának középértéke \(\displaystyle f_0=1{,}5\) GHz, és a változó frekvencia \(\displaystyle f_0\) körül \(\displaystyle \Delta f=40\) kHz értékkel ingadozott.

Az észlelt rádióhullámokat egy exobolygó körül keringő exoműhold állandó frekvenciájú jeleként értelmezték a kutatók. Feltételezték, hogy a Föld és az exobolygó közötti egyenes szakasz az exoműhold pályájának síkjában fekszik, és így meg tudták határozni a bolygó tömegét, sugarát és az átlagsűrűségét. Milyen értékeket kaptak?

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A bolygó mögé kerülő műhold okozza a jelek megszakadását. A jelek és a szünetek egyforma időtartamából következik, hogy a műhold a bolygó felszínéhez közel kering, keringési ideje \(\displaystyle T=90\) perc. A frekvencia ingadozását a Doppler-hatás okozhatja, a nagyságából kiszámítható a keringés \(\displaystyle v\) sebessége:

\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{\Delta f}{f_0}=2{,}67\cdot10^{-5}\ll1, \qquad \text{ahonnan} \qquad v=\left(2{,}67\cdot10^{-5}\right)\cdot \left(3\cdot 10^5~\frac{\rm km}{\rm s}\right)=8{,}0~\frac{\rm km}{\rm s}.\)

A műhold pályájának sugara (ami közelítőleg a bolygó sugarával egyezik meg):

\(\displaystyle R=\frac{vT}{2\pi}=6880~\rm km.\)

(Ez a Föld sugaránál mindössze 8%-kal nagyobb.)

Ha \(\displaystyle M\) a bolygó tömege, akkor a Newton-féle gravitációs törvény szerint:

\(\displaystyle \gamma \frac{M}{R^2}=\frac{v^2}{R},\)

ahonnan

\(\displaystyle M=\frac{v^2R}{\gamma}= 6{,}6\cdot 10^{24}~\rm kg,\)

ami 10%-kal nagyobb, mint a Föld tömege.

Az exobolygó átlagsűrűsége

\(\displaystyle \varrho=\frac{M}{\frac{4\pi}{3}R^3}=4840~\frac{\rm kg}{\rm m^3},\)

ami a Föld átlagsűrűségének kb. 88%-a.

A megfigyelt exobolygó tehát nagyon hasonlít a Földre, a kiszámított adatait tekintve nagyon ,,földszerű'' égitest lehet.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bacsó Dániel, Barna Benedek, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Hegedűs András , Josepovits Gábor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Sallai Péter, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szanyi Attila, Takács Bendegúz, Tatár Ágoston, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Yokota Adan.
4 pontot kapott:	Bódi Áron, Bubics Gergely Dániel, Fey Dávid, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Szabó Márton.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. szeptemberi fizika feladatai