 |
A P. 5341. feladat (2021. szeptember) |
P. 5341. Tehervonat szállít egy \(\displaystyle \ell\) hosszú, \(\displaystyle d\) széles és \(\displaystyle h\) magas téglatest alakú konténert, amely félig van töltve \(\displaystyle \varrho\) sűrűségű folyadékkal. Mekkora erővel nyomná a folyadék a konténer alaplapját és oldallapjait, ha a vonat képes lenne vízszintes pályán hosszú ideig állandó \(\displaystyle a_0\) gyorsulással haladni? (A konténer leghosszabb éle párhuzamos a sínekkel, és a folyadék még akkor sem folyna ki a tartályból, ha az felül nyitott lenne.)
Adatok: \(\displaystyle \ell=10\) m, \(\displaystyle h=d=3\) m, \(\displaystyle \varrho=1000~\mathrm{kg/m}^3\), \(\displaystyle a_0=1~\mathrm{m/s}^2\).
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Belátjuk, hogy a folyadék felszíne (amikor a folyadék a konténerhez képest már nem mozog) egy olyan sík, amelyik \(\displaystyle \alpha=\arctg(a_0/g)\) szöget zár be a vízszintessel. A folyadék felszínének közelében a folyadék egy kicsiny darabkájára a környező folyadék csak a felszínre merőleges \(\displaystyle F\) erőt képes kifejteni. (Ha nem így lenne, akkor a kérdéses anyagdarabka a felület érintősíkjában elmozdulna a folyadék többi részéhet képest.) Az 1. ábráról leolvasható, hogy egy \(\displaystyle m\) tömegű ,,folyadékdarabka'' mozgásegyenle a felület esésvonalának irányában
\(\displaystyle mg\sin\alpha=ma_0\cos\alpha,\qquad \text{tehát}\qquad \tg\alpha=\frac{a_0}{g}.\)
1. ábra
A gyorsulás következtében a konténer elején a folyadék magassága
\(\displaystyle h_1=\frac{h}{2}-\frac{\ell}{2}\,\frac{a_0}{g}\)
értékre csökken, a konténer hátsó falánál pedig
\(\displaystyle h_2=\frac{h}{2}+\frac{\ell}{2}\,\frac{a_0}{g}\)
értékre növekszik, a konténer közepénél pedig az álló helyzetnek megfelelő \(\displaystyle h/2\) marad (2. ábra).
2. ábra
Jelöljük a tartály fenéklapjára ható erőt \(\displaystyle G\)-vel, a mozgásirányhoz viszonyított előlapnál ható erőt \(\displaystyle F_1\)-gyel, a hátsó oldallapra ható erőt \(\displaystyle F_2\)-vel, a trapéz alakú oldalfalra ható erőt pedig \(\displaystyle F_3\)-mal (3. ábra). Ezeket az erőket szeretnénk meghatározni.
3. ábra
A folyadék által kifejtett nyomás mindenhol a légköri nyomáson felüli túlnyomást, vagyis a hidrosztatikai nyomást jelenti. (A légköri nyomás az alaplap és az oldallapok mindkét oldalánál hat, eredő erőt tehát nem hoz létre.)
A tartály fenéklapjára nyilván a folyadék súlyával megegyező nagyságú erő hat:
\(\displaystyle G=\frac{h}{2}\ell d \varrho g.\)
A folyadék hidrosztatikai nyomása a mélységgel arányosan növekszik. Az előlapra ható \(\displaystyle F_1\) erő a folyadék átlagos nyomása és a nyomott felület szorzataként kapható meg:
\(\displaystyle F_1=\left(\frac{1}{2}\varrho g h_1\right)\cdot \left(h_1d\right)=\frac{1}{8}\varrho g \,d \left(h-\ell\,\frac{a_0}{g}\right)^2.\)
Hasonlóan a hátsó lapra ható erő:
\(\displaystyle F_2=\left(\frac{1}{2}\varrho g h_2\right)\cdot \left(h_2d\right)=\frac{1}{8}\varrho g \,d \left(h+\ell\,\frac{a_0}{g}\right)^2.\)
Az oldalfal mentén a (túl)nyomás a folyadék (ferde) felszíne mentén nulla, függőlegesen lefelé haladva pedig a mélységgel arányosan lineárisan változik. Az átlagos nyomás egy-egy függőleges, a tartály előlapjától \(\displaystyle x\) \(\displaystyle (0\le x\le \ell)\) távol lévő, \(\displaystyle \Delta x\) széles,
\(\displaystyle h(x)=\frac{h}{2}+x\frac{a_0}{g} \)
magas sáv mentén:
\(\displaystyle \overline{p}=\frac12\varrho g h(x).\)
Ez az átlagos nyomás az egyes sávokra
\(\displaystyle \Delta F=\overline{p}\cdot h(x)\Delta x=\frac12\varrho g h^2(x)\Delta x,\)
a teljes oldalfalra pedig
\(\displaystyle F_3=\sum\frac12\varrho g h^2(x)\Delta x\)
erőt fejt ki.
Az összeget (vagyis az oldalfalra ható teljes nyomóerőt) pl. integrálszámítással, de elemi úton is meghatározhatjuk. Észrevehetjük, hogy ha az oldalfal folyadékkal érintkező részét egy \(\displaystyle \varrho\) felületi tömegsűrűségű (felületegységenként \(\displaystyle \varrho\) tömegű) vékony lemeznek képzeljük, és ezt a lemezt vízszintes helyzetben tartjuk, akkor a súlyerőnek a trapéz alapélére vonatkozó forgatónyomatéka éppen \(\displaystyle F_3\). No de ezt a forgatónyomatékot másképp is kiszámíthatjuk. Vágjuk szét (gondolatban) a trapézt egy \(\displaystyle \ell h_1\) területű téglalapra, valamint egy \(\displaystyle \ell\) és \(\displaystyle h_2-h_1\) befogójú derékszögű háromszögre. Ezen síkidomok súlypontjának és területének ismert képleteiből adódik, hogy
\(\displaystyle F_3=\varrho g\left[\ell h_1\cdot\frac{h_1}{2}+ \ell\frac{h_2-h_1}{2}\left(h_1+\frac{h_2-h_1}{3}\right)\right]= \varrho g \ell\frac{h_1^2+h_2^2+h_1h_2}{6}=\varrho g \ell\left(\frac{1}{8}h^2+\frac{1}{24} \ell^2 \frac{a_0^2}{g^2}\right) . \)
A megadott számértékekkel \(\displaystyle G=441~\rm kN\), \(\displaystyle F_1=14~\rm kN\), \(\displaystyle F_2=59~\rm kN\), \(\displaystyle F_3=114~\rm kN\).
Statisztika:
37 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Toronyi András. 4 pontot kapott: Somlán Gellért. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző.
A KöMaL 2021. szeptemberi fizika feladatai