A P. 5345. feladat (2021. szeptember)

P. 5345. Vékony csőből két $\displaystyle R$ sugarú negyedkört készítünk, majd egy-egy $\displaystyle r$ sugarú, $\displaystyle \alpha$ szöggel ,,hiányos'' félkörívet csatlakoztatunk hozzájuk, végül az egész elrendezést az ábrán látható módon egy függőleges síklaphoz erősítjük. Az $\displaystyle A$ pontból kezdősebesség nélkül beejtünk egy kis golyót a csőbe. A golyó az $\displaystyle AB$ és a $\displaystyle BC$ köríven végigcsúszik, a $\displaystyle C$ és a $\displaystyle D$ pont között szabadon esik (ferde hajítás szerint mozog), majd a $\displaystyle DB$ és $\displaystyle BE$ köríven csúszik tovább.(A súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül hagyhatjuk.)

$\displaystyle a)$ Mekkora az $\displaystyle \alpha$ szög, ha $\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{5}{2}$?

$\displaystyle b)$ Vizsgáljuk meg, hogy különböző $\displaystyle \frac{R}{r}$ arányoknál mekkora $\displaystyle \alpha$ szög (vagy szögek) esetében valósulhat meg a leírt mozgás!

Romániai versenyfeladat nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az energiamegmaradás tétele szerint a golyó sebessége a $\displaystyle C$ pontban

$\displaystyle v=\sqrt{2g(R-r-r\cos\alpha)},$

amelynek függőleges és vízszintes komponense

$\displaystyle v_\text{felfelé}=v\sin\alpha,\quad v_\text{balra}=v\cos\alpha.$

A golyó valamekkora $\displaystyle t$ idő alatt eljut a $\displaystyle D$ pontba, ahol a sebessége ugyancsak $\displaystyle v$ lesz. Fennáll tehát, hogy

$\displaystyle gt=2v_\text{felfelé},$

illetve

$\displaystyle v_\text{balra}t=2r\sin\alpha.$

(Feltehetjük, hogy $\displaystyle \alpha>0$, tehát tényleges ferde hajításról van szó.) Ezekből az összefüggésekből $\displaystyle t$ és $\displaystyle v$ kiküszölése után ezt kapjuk:

$\displaystyle \cos^2\alpha-\left(\frac{R}{r}-1\right)\cos\alpha+\frac{1}{2}=0.$

$\displaystyle a)$ Amennyiben $\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{5}{2}$, a fenti másodfokú egyenletből kapjuk, hogy $\displaystyle \cos\alpha=0{,}5$, azaz $\displaystyle \alpha= 60^\circ$.

$\displaystyle b)$ Bevezetve a $\displaystyle \lambda=R/r$ jelölést, az $\displaystyle \alpha$ szöget meghatározó egyenlet:

$\displaystyle \cos^2\alpha-(\lambda-1)\cos\alpha+\frac12=0,$

tehát

$\displaystyle \cos\alpha= \frac{\lambda-1\pm \sqrt{\lambda^2-2\lambda-1}}{2}.$

A négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, vagyis $\displaystyle \lambda =\frac{R}{r}\ge 1+\sqrt{2}\approx 2{,}41$. A legkisebb arányhoz $\displaystyle \alpha=45^\circ$-os szög tartozik.

A $\displaystyle \cos\alpha$-ra nézve másodfokú egyenletnek $\displaystyle \lambda>1+\sqrt{2}$ esetén két valós gyöke van. Az egyik gyök mindig kisebb 1-nél, a nagyobb gyök azonban $\displaystyle \lambda>\frac52$ esetén 1-nél nagyobb, tehát számunkra érdektelen.

Összefoglalva: Ha $\displaystyle 1+\sqrt{2}<\frac{R}{r}<\frac{5}{2},$ akkor minden $\displaystyle R/r$ arányszámhoz kétféle $\displaystyle \alpha$ is tartozhat. $\displaystyle \frac{R}{r}>\frac{5}{2}$, illetve $\displaystyle \frac{R}{r}=1+\sqrt{2}$ esetén csak egyetlen $\displaystyle \alpha$ szög mellett mehet végbe a mozgás, míg $\displaystyle \frac{R}{r}<1+\sqrt{2}$ esetén nincs olyan $\displaystyle \alpha$ szög, ami mellett a leírt mozgás megvalósulhatna.

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Bencz Benedek, Biebel Botond, Fey Dávid, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kovács Márton András, Molnár Kristóf, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Mária Krisztina.
5 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Veszprémi Rebeka Barbara.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. szeptemberi fizika feladatai