 |
A P. 5345. feladat (2021. szeptember) |
P. 5345. Vékony csőből két \(\displaystyle R\) sugarú negyedkört készítünk, majd egy-egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \alpha\) szöggel ,,hiányos'' félkörívet csatlakoztatunk hozzájuk, végül az egész elrendezést az ábrán látható módon egy függőleges síklaphoz erősítjük. Az \(\displaystyle A\) pontból kezdősebesség nélkül beejtünk egy kis golyót a csőbe. A golyó az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle BC\) köríven végigcsúszik, a \(\displaystyle C\) és a \(\displaystyle D\) pont között szabadon esik (ferde hajítás szerint mozog), majd a \(\displaystyle DB\) és \(\displaystyle BE\) köríven csúszik tovább.(A súrlódást és a légellenállást figyelmen kívül hagyhatjuk.)
\(\displaystyle a)\) Mekkora az \(\displaystyle \alpha\) szög, ha \(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{5}{2}\)?
\(\displaystyle b)\) Vizsgáljuk meg, hogy különböző \(\displaystyle \frac{R}{r}\) arányoknál mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög (vagy szögek) esetében valósulhat meg a leírt mozgás!
Romániai versenyfeladat nyomán
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az energiamegmaradás tétele szerint a golyó sebessége a \(\displaystyle C\) pontban
\(\displaystyle v=\sqrt{2g(R-r-r\cos\alpha)},\)
amelynek függőleges és vízszintes komponense
\(\displaystyle v_\text{felfelé}=v\sin\alpha,\quad v_\text{balra}=v\cos\alpha.\)
A golyó valamekkora \(\displaystyle t\) idő alatt eljut a \(\displaystyle D\) pontba, ahol a sebessége ugyancsak \(\displaystyle v\) lesz. Fennáll tehát, hogy
\(\displaystyle gt=2v_\text{felfelé},\)
illetve
\(\displaystyle v_\text{balra}t=2r\sin\alpha.\)
(Feltehetjük, hogy \(\displaystyle \alpha>0\), tehát tényleges ferde hajításról van szó.) Ezekből az összefüggésekből \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle v\) kiküszölése után ezt kapjuk:
\(\displaystyle \cos^2\alpha-\left(\frac{R}{r}-1\right)\cos\alpha+\frac{1}{2}=0.\)
\(\displaystyle a)\) Amennyiben \(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{5}{2}\), a fenti másodfokú egyenletből kapjuk, hogy \(\displaystyle \cos\alpha=0{,}5 \), azaz \(\displaystyle \alpha= 60^\circ\).
\(\displaystyle b)\) Bevezetve a \(\displaystyle \lambda=R/r\) jelölést, az \(\displaystyle \alpha\) szöget meghatározó egyenlet:
\(\displaystyle \cos^2\alpha-(\lambda-1)\cos\alpha+\frac12=0,\)
tehát
\(\displaystyle \cos\alpha= \frac{\lambda-1\pm \sqrt{\lambda^2-2\lambda-1}}{2}.\)
A négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, vagyis \(\displaystyle \lambda =\frac{R}{r}\ge 1+\sqrt{2}\approx 2{,}41\). A legkisebb arányhoz \(\displaystyle \alpha=45^\circ\)-os szög tartozik.
A \(\displaystyle \cos\alpha\)-ra nézve másodfokú egyenletnek \(\displaystyle \lambda>1+\sqrt{2}\) esetén két valós gyöke van. Az egyik gyök mindig kisebb 1-nél, a nagyobb gyök azonban \(\displaystyle \lambda>\frac52\) esetén 1-nél nagyobb, tehát számunkra érdektelen.
Összefoglalva: Ha \(\displaystyle 1+\sqrt{2}<\frac{R}{r}<\frac{5}{2},\) akkor minden \(\displaystyle R/r\) arányszámhoz kétféle \(\displaystyle \alpha\) is tartozhat. \(\displaystyle \frac{R}{r}>\frac{5}{2}\), illetve \(\displaystyle \frac{R}{r}=1+\sqrt{2}\) esetén csak egyetlen \(\displaystyle \alpha\) szög mellett mehet végbe a mozgás, míg \(\displaystyle \frac{R}{r}<1+\sqrt{2}\) esetén nincs olyan \(\displaystyle \alpha\) szög, ami mellett a leírt mozgás megvalósulhatna.
Statisztika:
53 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Bencz Benedek, Biebel Botond, Fey Dávid, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kovács Márton András, Molnár Kristóf, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Mária Krisztina. 5 pontot kapott: Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Veszprémi Rebeka Barbara. 4 pontot kapott: 9 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2021. szeptemberi fizika feladatai