 |
A P. 5354. feladat (2021. október) |
P. 5354. Motoros játékvonat halad \(\displaystyle R\) sugarú, kör alakú pályán, állandó nagyságú \(\displaystyle v\) sebességgel. A kör középpontjától \(\displaystyle d < R\) távolságra egy állandó, \(\displaystyle f_0\) frekvenciájú hangot kibocsátó, pontszerű hangforrás helyezkedik el. A vonatra egy mikrofont rögzítünk. Milyen határok között változik a mikrofon által észlelt hang frekvenciája? (A hang sebessége \(\displaystyle c\).)
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A hangmagasság változását a Doppler-effektussal magyarázzuk. Eszerint az \(\displaystyle f_0\) frekvenciájú, álló hangforrás frekvenciáját egy, a hangforráshoz \(\displaystyle u\) sebességgel közeledő (vagy távolodó) mikrofon
\(\displaystyle f=f_0\left(1\pm \frac{u}{c}\right)\)
nagyságúnak rögzíti. A feladatunk tehát \(\displaystyle u\) legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása.
Két test távolsága nem függ attól, hogy milyen koordináta-rendszerben számítjuk ki azt. (Az ilyen mennyiségeket invariánsnak nevezik.) Válasszuk azt a koordináta-rendszert, amelynek origója a körpálya középpontjában van, és éppen olyan gyorsan forog, hogy a játékvonat – ebben a rendszerben – mindig ugyanazon a helyen legyen. Ebben a rendszerben a vonat áll, a hangforrás pedig egy \(\displaystyle d\) sugarú körpályán \(\displaystyle u=vd/R\) sebességgel egyenletesen mozog.
A vonat és a hangforrás távolsága akkor változik a leggyorsabban, amikor a hangforrás sebessége éppen a vonat felé, vagy az ellenkező irányba mutat. Ilyenkor a közeledés/távolodás sebessége \(\displaystyle \pm u\), a megváltozott frekvencia legnagyobb és legkisebb értéke tehát
\(\displaystyle f_\text{max}=f_0\left(1+ \frac{vd}{Rc}\right),\qquad \text{illetve}\qquad f_\text{min}=f_0\left(1- \frac{vd}{Rc}\right).\)
Statisztika:
28 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bencz Benedek, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kollmann Áron Alfréd, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szanyi Attila, Téglás Panna, Viczián Máté, Yokota Adan. 5 pontot kapott: Fey Dávid, Gábriel Tamás. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. októberi fizika feladatai