A P. 5354. feladat (2021. október)

P. 5354. Motoros játékvonat halad $\displaystyle R$ sugarú, kör alakú pályán, állandó nagyságú $\displaystyle v$ sebességgel. A kör középpontjától $\displaystyle d < R$ távolságra egy állandó, $\displaystyle f_0$ frekvenciájú hangot kibocsátó, pontszerű hangforrás helyezkedik el. A vonatra egy mikrofont rögzítünk. Milyen határok között változik a mikrofon által észlelt hang frekvenciája? (A hang sebessége $\displaystyle c$.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A hangmagasság változását a Doppler-effektussal magyarázzuk. Eszerint az $\displaystyle f_0$ frekvenciájú, álló hangforrás frekvenciáját egy, a hangforráshoz $\displaystyle u$ sebességgel közeledő (vagy távolodó) mikrofon

$\displaystyle f=f_0\left(1\pm \frac{u}{c}\right)$

nagyságúnak rögzíti. A feladatunk tehát $\displaystyle u$ legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása.

Két test távolsága nem függ attól, hogy milyen koordináta-rendszerben számítjuk ki azt. (Az ilyen mennyiségeket invariánsnak nevezik.) Válasszuk azt a koordináta-rendszert, amelynek origója a körpálya középpontjában van, és éppen olyan gyorsan forog, hogy a játékvonat – ebben a rendszerben – mindig ugyanazon a helyen legyen. Ebben a rendszerben a vonat áll, a hangforrás pedig egy $\displaystyle d$ sugarú körpályán $\displaystyle u=vd/R$ sebességgel egyenletesen mozog.

A vonat és a hangforrás távolsága akkor változik a leggyorsabban, amikor a hangforrás sebessége éppen a vonat felé, vagy az ellenkező irányba mutat. Ilyenkor a közeledés/távolodás sebessége $\displaystyle \pm u$, a megváltozott frekvencia legnagyobb és legkisebb értéke tehát

$\displaystyle f_\text{max}=f_0\left(1+ \frac{vd}{Rc}\right),\qquad \text{illetve}\qquad f_\text{min}=f_0\left(1- \frac{vd}{Rc}\right).$

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencz Benedek, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kollmann Áron Alfréd, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szanyi Attila, Téglás Panna, Viczián Máté, Yokota Adan.
5 pontot kapott:	Fey Dávid, Gábriel Tamás.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi fizika feladatai