 |
A P. 5355. feladat (2021. november) |
P. 5355. Újsághír (2021. február 24.): A kínai Mars-szonda, a Tienven-1 már a Mars körül kering, és adatokat gyűjt a vörös bolygóról. Parkolási pályájának a Mars felszínétől mért legtávolabbi pontja 59 ezer kilométerre, míg a legközelebbi 280 kilométerre van. A szonda két marsi nap alatt tesz meg egy ,,kört'' a bolygó körül.
Számítással ellenőrizzük, hogy milyen pontossággal igaz a keringési időre megadott érték, ha a többi adatot helyesnek fogadjuk el!
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A szonda – a megadott és táblázatból kikereshető adatok szerint – olyan ellipszispályán kering, amelynek fél nagytengelye:
\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 59\,000~{\rm km}+280~{\rm km}+6794~{\rm km}\right)=3{,}304\cdot10^7~{\rm m}.\)
Kepler III. törvénye szerint a szonda keringési ideje megegyezik az \(\displaystyle a\) sugarú körpályához tartozó keringési idővel:
\(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\gamma M_\text{Mars}}}=2\pi \sqrt{ \frac{(3{,}304\cdot10^7)^3}{\left(6{,}673\cdot10^{-11}\right)\cdot0{,}107\cdot \left(5{,}974\cdot10^{24}\right)}}~{\rm s}=1{,}83\cdot10^5~\rm s.\)
Mivel a marsi nap hossza:
\(\displaystyle T_\text{Mars}=24^{\rm h}\, 37^{\rm m}\,23^{\rm s}=8{,}864\cdot10^4~\rm s, \)
a szonda keringési ideje
\(\displaystyle T=\frac{1{,}83\cdot10^5~\rm s}{8{,}864\cdot10^4~\rm s}T_\text{Mars}=2{,}06~ T_\text{Mars}.\)
Az állítás, miszerint egy ,,kör'' megtételének ideje két marsi nap, kb. 3% pontossággal igaz.
Megjegyzések. 1. A marsi nap hosszát és a Mars tengely körüli forgásának idejét egyenlőnek tekintettük, vagyis nem vettük figyelembe, hogy a Mars 687 földi nap alatt megkerüli a Napot. Ez 0,15% hibát okoz, ami a kiszámított 3% mellett elhanyagolható.
2. A fenti számolás során fellépő kerekítési hibák önmagukban is kb. 1 százaléknyi relatív hibát okozhatnak. Helyesebb tehát azt mondanunk, hogy az újsághír \(\displaystyle 3\pm1\) százalék, vagyis 2-4% pontossággal tekinthető igaznak.
Statisztika:
76 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bagu Bálint, Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bányai Kristóf, Bencz Benedek, Biebel Botond, Brezina Gergely, Fajszi Karsa, Hegedűs Máté Miklós, Jirkovszky-Bari László, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kornya Gergely Csaba, Kovács Kristóf , Köpenczei Csanád, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Mozolai Bende Bruno, Nagy 456 Imre, Németh Zalán, Papp Marcell Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Bálint Máté, Bogdán Benedek, Buzási-Temesi Imre, Csonka Illés, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hegymegi Balázs, Horváth 221 Zsóka, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Murai Dóra Eszter, Nemeskéri Dániel, Somlán Gellért, Vadász Roland, Varga Mária Krisztina, Yokota Adan. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai