A P. 5356. feladat (2021. november)

P. 5356. Vízszintes talajon fekszik egy téglalap keresztmetszetű gerenda. A téglalap vízszintes oldala $\displaystyle L$, függőleges oldala $\displaystyle H$ hosszúságú. Elhanyagolva a közegellenállást, honnan és hogyan kell elugrania egy szöcskének, hogy a lehető legkisebb energiaráfordítással sikerüljön átugrania ezt a gerendát? Hol lesz az ugrási parabola fókuszpontja ebben az esetben?

Radnai Gyula (1939–2021) feladata

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A gerenda kereszmetszetének felső sarokpontjai – optimális esetben – éppen illeszkednek a szöcske (parabola alakú) pályagörbéjére. Jelöljük a szöcske sebességét ezekben a pontokban $\displaystyle v_0$-lal, a görbe meredekségét pedig $\displaystyle \pm\alpha$-val (lásd az 1. ábrát). A szöcske teljes energiája a talaj szintjéhez viszonyítva:

ennek a kifejezésnek keressük a legkisebb értékét.

Ismert, hogy adott $\displaystyle v_0$ sebességgel elindított pontszerű test

$\displaystyle \ell=\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\alpha)$

távolra jut, ilyen messze éri el az indulási pont magasságát. Esetünkben az $\displaystyle \ell$ távolságnak legalább $\displaystyle L$-nek kell lennie, tehát

Az egyenlőség $\displaystyle \alpha=45^\circ$ esetén áll fenn, és $\displaystyle v_0^2$ minimális értéke $\displaystyle gL$.

1. ábra

Behelyettesítve (2)-t (1)-be azt kapjuk, hogy

$\displaystyle E\ge mg\left(H+\frac{L}{2}\right)=E_\text{min}.$

A szöcske elugrásának $\displaystyle u$ kezdősebességét az

$\displaystyle \frac12 mu^2=E_\text{min}$

összefüggésből kaphatjuk meg:

$\displaystyle u=\sqrt{g(2H+L)}.$

Határozzuk meg most a szöcske elugrási helyének a gerenda szélétől mért $\displaystyle d$ távolságát és az elugrás szögét. A 2. ábrán látható koordinátarendszerben a parabola egyenlete:

$\displaystyle y=x\left(1-\frac{x}{L}\right),$

hiszen a pályagörbe meredeksége $\displaystyle x=0$-nál 1, és a gerenda felső élei illeszkednek a parabolára.

2. ábra

A kérdéses $\displaystyle d$ távolságot az $\displaystyle x\left(1-\frac{x}{L}\right)=-H$, vagyis az $\displaystyle x^2-xL-HL=0$ feltételből kapjuk meg. Ennek az egyenletnek a negatív gyöke:

$\displaystyle x_1=\frac{L}{2}-\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2+LH}=-d,$

tehát

$\displaystyle d=\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2+LH}-\frac{L}{2}.$

Az elugrás $\displaystyle \varphi$ szögének tangense a parabola érintőjének meredeksége az $\displaystyle x=-d$ helyen:

$\displaystyle \tg\varphi=1-\frac{2x}{L}=1+\frac{2d}{L}=\sqrt{1+\frac{4H}{L}}.$

Megjegyzések. 1. A parabola érintőjének meredekségét tetszőleges pontban differenciálszámítással, vagy egy jól ismert fizikai jelenséggel, az egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgással való analógia kihasználásával kaphatjuk meg. Ha az $\displaystyle y(x)$ függvényben $\displaystyle x$-et $\displaystyle t$-vel helyettesítjük (ahol $\displaystyle t$ az időt jelenti), akkor az $\displaystyle y(t)=t-(t^2/L)$ összefüggést kapjuk. Összehasonlítva ezt az $\displaystyle y$ tengely menti egyenletesen gyorsuló mozgás $\displaystyle y(t)=v_0t+\frac{a}{2}t^2$ kifejezésével, látjuk, hogy a kezdősebesség $\displaystyle v_0=1$, a gyorsulás pedig: $\displaystyle a=2/L.$ Az eredeti, $\displaystyle y(x)$ parabolapályája érintőjének meredeksége az $\displaystyle y(t)$ mozgás pillanatnyi sebességével egyezik meg, vagyis

$\displaystyle \tg\varphi=v_0+at=1-\frac2{L}x=1+\frac{2d}{L}.$

2. A szöcske elugrásának $\displaystyle \varphi$ szögét a ferde hajítás távolságát megadó képlet segítségével is ki lehet számítani:

$\displaystyle L+2d=\frac{u^2}{g}\sin(2\varphi),$

amiből $\displaystyle u$ és $\displaystyle d$ behelyettesítése után kapjuk, hogy

$\displaystyle \sin(2\varphi)=\frac{\sqrt{(L/2)^2+HL}}{H+L/2}.$

Ahogy arról a $\displaystyle \sin(2\varphi)=\frac{2\, {\tg} \varphi}{1+{ {\tg}}^2\varphi}$ összefüggés segítségével meggyőződhetünk, ez ugyanazt a $\displaystyle \varphi$ szöget adja, mint a fentebb kiszámított.

A parabola fókuszpontját legkönnyebben optikai megfontolásokkal kaphatjuk meg. Tudjuk, hogy a parabola alakú tükör a szimmetriatengellyel párhuzamos fénysugarakat az $\displaystyle F$ fókuszpont felé veri vissza. A szöcske optimális pályagörbéje esetén a gerenda szélénél haladó, függőleges fénysugár a $\displaystyle 45^\circ$-os beesési szög miatt $\displaystyle 45^\circ$-os szögben, tehát vízszintes irányban verődik vissza. Ezek szerint az $\displaystyle F$ fókuszpont éppen a gerenda felső lapján, annak közepénél található (3. ábra).

3. ábra

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Mozolai Bende Bruno, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Yokota Adan.
4 pontot kapott:	Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Magyar Gábor Balázs, Nemeskéri Dániel, Vágó Botond.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai