A P. 5357. feladat (2021. november)

P. 5357. Vízszintes asztallapon fekszik egy homogén tömegeloszlású rúd. Ezt a rudat lassan függőleges helyzetbe hozzuk az egyik végére ható, a rúdra mindenkor merőleges erővel. Legalább mekkora a rúd és az asztallap közötti tapadási súrlódási együttható, ha a rúd nem csúszik meg felállítás közben?

Amerikai feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelöljük a rúd súlyát $\displaystyle G$-vel, hosszát $\displaystyle \ell$-lel, a felső végénél ható erőt $\displaystyle F$-fel, az alsó végénél ható nyomóerőt $\displaystyle N$-nel, és végül a súrlódási erőt $\displaystyle S$-sel (lásd az ábrát).

Amikor a rúd $\displaystyle \varphi$ szöget zár be a vízszintessel, a következő összefüggések érvényesek:

$\displaystyle S=F\sin\varphi\qquad \text{(vízszintes erők egyensúlya)},$

$\displaystyle N+F\cos\varphi=G\qquad \text{(függőleges erők egyensúlya)},$

$\displaystyle F\ell =G\frac{\ell}{2} \cos\varphi\qquad \text{(forgatónyomatékok egyensúlya)}.$

Innen $\displaystyle S$ és $\displaystyle N$ kifejezhető $\displaystyle G$ segítségével:

$\displaystyle S=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2}G,$

$\displaystyle N=\left(1-\frac{\cos^2\varphi}{2}\right) G.$

A rúd akkor nem csúszik meg az alsó végpontjánál, ha

$\displaystyle \mu>\frac{S}{N}=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2-\cos^2\varphi}\equiv f(\varphi).$

$\displaystyle f(\varphi)$ arányos a $\displaystyle 2\sin^2\varphi$ és a $\displaystyle \cos^2\varphi$ mértani és számtani közepének a hányadosával, tehát akkor maximális, ha e két mennyiség megegyezik:

$\displaystyle f(\varphi)= \frac{1}{\sqrt{8}}\cdot \frac{\sqrt{2\,\sin^2\varphi}\sqrt{\cos^2\varphi}} {\frac12\left(2\,\sin^2\varphi+\cos^2\varphi\right) }\le \frac{1}{\sqrt{8}}=\mu_\text{krit.}.$

(Ugyanezt grafikus ábrázolással, vagy felsőbb matematikai módszerekkel is beláthatjuk.)

Ha tehát

$\displaystyle \mu>\mu_\text{krit.}\approx 0{,}35,$

akkor a rúd a felállítása során semelyik helyzeténél nem csúszik meg.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bányai Kristóf, Beke Bálint, Bencz Benedek, Czirók Tamás, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Magyar Gábor Balázs, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Tárnok Ede , Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia.
4 pontot kapott:	Csonka Illés, Fábián-Kovács Árpád, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai