A P. 5360. feladat (2021. november)

P. 5360. Demonstráció céljából egyszerű Kepler-távcsövet készítünk. Ehhez rendelkezésünkre áll két gyűjtőlencse: egy \(\displaystyle D\) átmérőjű, \(\displaystyle f_1\) fókusztávolságú objektív és egy \(\displaystyle d\) átmérőjű, \(\displaystyle f_2\ll f_1\) fókusztávolságú szemlencse, valamint egy, a távcső tubusában a lencsék közös fókuszsíkjában rögzíthető blende (más néven: fényrekesz). Ezzel szeretnénk szabályozni a távcső képalkotásában szerepet játszó sugárnyalábokat.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a blende nélküli távcső látómezeje szögben kifejezve (azaz legfeljebb milyen szögtávolságra lehet két csillag akkor, ha egyszerre láthatók a távcsőben)?

\(\displaystyle b)\) Legfeljebb mekkorára választhatjuk a ,,látómező határoló blende'' nyílásának átmérőjét ahhoz, hogy a távcső fényerő szempontjából ne torzítson (azaz a kép szélének megfelelő irányokból is minden fény, ami az objektívre esik, átjusson a szemlencsén is)? Mekkora lehet így a távcső látómezeje?

Útmutatás: Vizsgáljuk az optikai tengelyhez képest különböző irányokból az objektívre érkező párhuzamos fénynyalábok alakulását, ahogy áthaladnak a távcsövön! A távcső kilépő pupillája (az objektív átmérője osztva a szögnagyítással) kisebb, mint a szemlencse átmérője.

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Tekintsünk egy távoli csillagról érkező párhuzamos sugárnyalábot, ami az optikai tengellyel \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be (1. ábra). (Az ábra az áttekinthetőség kedvéért erősen torzított, a valóságban \(\displaystyle \alpha\ll1\) radián.) A nyaláb az objektívtől \(\displaystyle f_1\) távol lévő fókuszsík \(\displaystyle F\) pontjában fókuszálódik, az optikai tengelytől \(\displaystyle f_1\alpha\) távolságban. (Kis szögekre \(\displaystyle \tg\alpha\approx \alpha\).)

1. ábra

Egy csillag akkor esik bele a távcső látómezejébe, ha az objektív által megtört fénysugarak legalább egy része eléri a szemlencsét. Minél kevesebb ilyen fénysugár van, annál halványabb a csillag képe. A határesetnek az a helyzet felel meg, amikor az objektív tetejénél elhaladó \(\displaystyle (m)\) jelű fénysugár éppen eléri a szemlencse tetejét (1. ábra). Az \(\displaystyle (m)\) egyenes meredekségét kétféle módon is kiszámíthatjuk, és ezek nyilván egyenlőek:

\(\displaystyle \frac{D/2-f_1\alpha}{f_1}=\frac{(D/2)-(d/2)}{f_1+f_2},\)

ahonnan a távcső látómezejének nagysága (szögtávolságként kifejezve):

\(\displaystyle 2\alpha=\frac{1}{N+1}\left(\frac{d}{f_2}+\frac{D}{f_1}\right),\)

amit ilyen alakban is felírhatunk:

\(\displaystyle 2\alpha=\frac{(d+D/N)}{f_1+f_2}.\)

(\(\displaystyle N=f_1/f_2\) a távcső szögnagyítása.)

A látómező széle felé közeledve a szemlencsén egyre kevesebb fény jut át, a csillagok egyre halványabbnak látszanak, a távcső tehát fényerő tekintetében torzít.

\(\displaystyle b)\) Akkor nem lép fel fényerőtorzítás, ha az objektíven áthaladó összes fény bejut a szemlencsébe. Ez akkor valósul meg, ha a csillag iránya és az optikai tengely szöge nem nagyobb, mint a 2. ábrán látható \(\displaystyle \beta\) szög. A határesetnek az felel meg, amikor az objektív legaljánál elhaladó \(\displaystyle (n)\) jelű fénysugár éppen eléri a szemlencse tetejét.

2. ábra

Az \(\displaystyle (n)\) egyenes meredekségét kétféle módon is kiszámíthatjuk, és ezek is nyilván egyenlőek:

\(\displaystyle \frac{D/2+f_1\beta}{f_1}=\frac{(D/2)+(d/2)}{f_1+f_2},\)

ahonnan a távcső torzításmentes látómezejének nagysága (szögtávolságként kifejezve):

\(\displaystyle 2\beta=\frac{1}{N+1}\left(\frac{d}{f_2}-\frac{D}{f_1}\right),\)

amit ilyen alakban is felírhatunk:

\(\displaystyle 2\beta=\frac{(d-D/N)}{f_1+f_2}.\)

Ha egy blendével csak a fényerőbeli torzítástól mentes fénysugarakat akarjuk átengedni, akkor ennek a fényrekesznek az átmérőjét

\(\displaystyle b=2f_1\beta=\frac{Nd-D}{N+1}\approx d-\frac{D}{N}\)

nagyságúra kell választanunk.

Megjegyzés. A feladatban \(\displaystyle D/N<d\) (tehát a fenti \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle \beta\) pozitív), de elvben elképzelhető, hogy \(\displaystyle D/N>d\). Ekkor egy az objektíven áthaladó, eredetileg párhuzamos sugárnyaláb szélessége az okulár síkjában már nagyobb lesz, mint a szemlencse átmérője. Ebben az esetben a fényerő szerinti torzításmentesség feltétele az, hogy a szemlencse teljes terjedelmében essen bele az objektíven átjövő sugárnyalábba. A fentihez hasonló számolás alapján ez akkor teljesül a blende által megengedett minden irányra, ha

\(\displaystyle b=\frac{D-Nd}{N+1}\approx\frac{D}{N}-d,\)

és továbbra is \(\displaystyle \beta=\frac{b}{2f_1}\). Ilyen távcsövet azonban nem érdemes építeni, mert az objektív által felfogott fény egy része mindenképpen elvész, tehát a lehetségesnél kisebb lesz a kép fényessége.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Kertész Balázs.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai