A P. 5371. feladat (2021. december)

P. 5371. A tau-részecske ($\displaystyle \tau$) elektromos töltése ugyanakkora, mint az elektroné. Tömege 3470-szer akkora, mint az elektroné és 1,89-szer akkora, mint a protoné. Nagyon rövid az élettartama ($\displaystyle 3\cdot 10^{-13}$ s), mégis előfordulhat, hogy a protonnal kötött rendszert alkot. Ebben az esetben a két részecske a közös tömegközéppont körül körpályán kering, és a rendszer teljes perdülete $\displaystyle n\hbar$ $\displaystyle (n=1,2,\ldots)$.

$\displaystyle a)$ Adjuk meg a $\displaystyle \tau$-proton atom és a H-atom színképeiben a megfelelő hullámhosszak arányát!

$\displaystyle b)$ Mekkora a $\displaystyle \tau$-proton atom kötési energiája?

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Két atomi részecske kötött állapotát a Bohr-modell keretei között tárgyaljuk. Legyen a részecskék tömege $\displaystyle m$ és $\displaystyle M$, töltésük $\displaystyle \pm e$ (ahol $\displaystyle e$ az elemi töltés), távolságuk $\displaystyle L$, a közös tömegközéppontjuk körüli forgásuk szögsebessége pedig $\displaystyle \omega$. Az $\displaystyle m$ tömegű részecske a tömegközépponttól $\displaystyle \frac{M}{m+M}L$ távol van, így a mozgásegyenlete:

(Ugyanezt az összefüggést kapjuk a $\displaystyle M$ tömegű részecske mozgásegyenletéből is.)

A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint:

$\displaystyle m\left( \frac{M}{m+M}L \right)^2\omega+M\left( \frac{m}{m+M}L \right)^2\omega=n\hbar,$

vagyis

Az (1) és (2) egyenletből megkapjuk az $\displaystyle n$-edik állapot energiáját:

$\displaystyle E_n=-\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot \frac{1}{n^2}.$

Ez ,,csupán'' annyiban különbözik a rögzítettnek képzelt proton (vagyis a $\displaystyle M\gg m$) esettől, hogy az ott szereplő elektrontömeg ($\displaystyle m$) helyett $\displaystyle \frac{mM}{m+M}$, az ún. redukált tömeg jelenik meg a formulában (ahol $\displaystyle M$ a másik részecske tömege).

A rendszer kötési energiája arányos a redukált tömeggel. A hidrogénatomnál $\displaystyle M=1836~m\gg m$ miatt a redukált tömeg gyakorlatilag az elektron tömege, és az energiaszintek értéke:

$\displaystyle E_n=-\frac{13{,}6~\rm eV}{n^2}.$

A $\displaystyle \tau$-proton atomban a redukált tömeg

$\displaystyle \frac{m_{\tau}m_\text{proton}} {m_{\tau}+m_\text{proton}}=\frac{1{,}89}{2{,}89}m_\text{proton}=\frac{1{,}89}{2{,}89}\cdot 1836~m =1200~m.$

Eszerint a tau-proton rendszer energiaszintjei a hidrogénatom megfelelő energiaszintjeinek 1200-szorosai.

$\displaystyle a)$ Az atom által kisugárzott elektromágneses sugárzás frekvenciája az energiakülönbségekkel, a hullámhossza pedig az energiakülönbségek reciprokával arányos. Emiatt a $\displaystyle \tau$-proton atom és a H-atom színképeiben a megfelelő hullámhosszak aránya $\displaystyle 1:1200$.

$\displaystyle b)$ A kötési energia ($\displaystyle \vert E_1\vert)$ a redulált tömeggel arányos, ami a $\displaystyle \tau$-proton atom esetében 1200-szor nagyobb, mint a H-atom 13,6 eV-os kötési energiája.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Schmercz Blanka.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. decemberi fizika feladatai