 |
A P. 5375. feladat (2022. január) |
P. 5375. Súrlódásmentes, vízszintes síkon fekvő vékony, homogén pálca egyik végét hirtelen úgy ütjük meg, hogy a végpont sebessége a pálcára merőleges és \(\displaystyle v\) nagyságú legyen.
\(\displaystyle a)\) A pálcának melyik része lesz zérus kezdősebességű?
\(\displaystyle b)\) A pálca másik vége mekkora és milyen irányú sebességgel indul el?
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. február 18-án LEJÁRT.
Megoldás. A pálca mozgását a lendület- és a perdületmegmaradás tétele alapján írhatjuk le. Ha az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú és \(\displaystyle m\) tömegű pálca egyik végét egy rövid ideig tartó erőhatás éri, amelynek ,,erőlökése'' \(\displaystyle I\), akkor az \(\displaystyle m\) tömegű pálca tömegközéppontja
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_\text{tkp}=\frac{I}{m}\) |
sebességgel indul el, és a szögsebesség hirtelen
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \omega=\frac{I}{\Theta}\cdot \frac{\ell}2 \) |
értéket vesz fel. Az erőlökést kiküszöbölve (1) és (2)-ből \(\displaystyle \Theta=\frac{1}{12}m\ell^2\) felhasználásával kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \ell\omega=6v_\text{tkp}.\) |
A pálca tömegközéppontjától \(\displaystyle x\) távolságra lévő pont kezdősebessége (ha \(\displaystyle x\)-et a megütött végpont felé tekintjük pozitívnak)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v(x)=v_\text{tkp}+x\omega=v_\text{tkp}\left(1+6\frac{x}{\ell}\right).\) |
\(\displaystyle a)\) Leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle v(-\ell/6)=0\), tehát a pálcának a megütött végétől távolabbi harmadolópontja lesz az a pont, amelyik zérus kezdősebességgel kezd el mozogni.
\(\displaystyle b)\) Mivel tudjuk, hogy \(\displaystyle v(\ell/2)=v\), (4) alapján
\(\displaystyle v_\text{tkp}=\frac{1}{4}v,\)
továbbá
\(\displaystyle v(-\ell/2)=-2\,v_\text{tkp}=-\frac{v}{2}.\)
A pálca másik vége tehát feleakkora, de ellentétes irányú sebességgel indul el, mint a meglökött pálcavég.
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Nemeskéri Dániel, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző.
A KöMaL 2022. januári fizika feladatai