 |
A P. 5376. feladat (2022. január) |
P. 5376. Egy \(\displaystyle 2L\) hosszúságú, vízszintes tartályt egy hőszigetelő dugattyú oszt két azonos térfogatú részre. Mindkét részben \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, \(\displaystyle n\) mól kétatomos ideális gáz van. A dugattyú mindkét oldala egy-egy \(\displaystyle D\) direkciós erejű, vízszintes helyzetű húzó-nyomó rugóval van összekötve a tartály függőleges falaival. A rugók kezdetben nyújtatlanok. Ha a jobb oldali gázzal lassan hőt közlünk, a dugattyú \(\displaystyle L/2\) távolságot mozdul el balra. A folyamat során a bal oldali részben lévő gáz egy \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy hőkapacitású hőtartályhoz kapcsolódik.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a jobb oldali részben a gáz nyomása akkor, amikor a dugattyú \(\displaystyle x\) távolsággal mozdult el az eredeti helyzetétől?
\(\displaystyle b)\) Adjuk meg a jobb oldali gázzal a teljes folyamat során közölt hőt!
Közli: Szász Krisztián, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. február 18-án LEJÁRT.
I. megoldás. Jelöljük az egész tartály térfogatát \(\displaystyle 2V_0\)-lal, a dugattyú keresztmetszetét pedig \(\displaystyle A\)-val (\(\displaystyle V_0=LA\)).
Számítsuk ki, mekkora a nyomás a bal oldali, illetve a jobb oldali térfélben, amikor a bal oldali rész térfogata \(\displaystyle V\). A bal oldali részben lévő gáz izotermikusan nyomódik össze, így
\(\displaystyle p^\text{(bal)}(V)=p_0V_0\frac{1}{V}.\)
\(\displaystyle a)\) A dugattyú \(\displaystyle x=\frac{V_0-V}{A}\) elmozdulásakor a két rugó összesen \(\displaystyle 2Dx\) erőt fejt ki. A dugattyú egyensúlyának feltétele:
\(\displaystyle Ap^\text{(bal)}+2Dx-Ap^\text{(jobb)}=0,\)
vagyis
\(\displaystyle p^\text{(jobb)}(V)=p_0V_0\frac{1}{V}+\frac{2D}{A^2}\left(V_0-V\right),\)
azaz
\(\displaystyle p^\text{(jobb)}(x)=p_0\frac{1}{1-\frac xL}+\frac{2D}{A}\cdot x.\)
\(\displaystyle b)\) Írjuk fel a hőtan I. főtételét a jobb oldali térfélben lévő gázra:
\(\displaystyle Q=\Delta E_{\rm b}+W^\text{(gáz)}.\)
A kezdeti állapotban a gáz nyomása \(\displaystyle p_0\), térfogata \(\displaystyle V_0\), a folyamat végén pedig \(\displaystyle p_1=2p_0+\frac{2D}{A^2}\frac{V_0}{2},\) a térfogata pedig \(\displaystyle V_1=\frac{3}{2}V_0.\) A belső energia megváltozása ezek szerint
\(\displaystyle \Delta E_{\rm b}=\frac{5}{2}\left(p_1V_1-p_0V_0\right)=\frac{5}{2}\left(2p_0+\frac{2D}{A^2}\frac{V_0}{2}\right)\,\frac{3}{2}V_0-\frac{5}{2}p_0V_0 =5p_0V_0+\frac{15}{4}DL^2.\)
A gáz által végzett munka a teljes folyamat során:
\(\displaystyle W^\text{(gáz)}=\sum_{V=V_0}^{V_0/2}p^\text{(jobb)}\cdot \Delta V= \sum_{V=V_0/2}^{V_0 }p_0V_0 \frac{\Delta V}{V}+\sum_{V=V_0/2}^{V_0 }\frac{2D}{A^2}\left(V_0-V\right)\Delta V. \)
Az első összeg éppen az izotermikus tágulásnak megfelelő \(\displaystyle p_0V_0\ln2\) (lásd pl. a Függvénytáblázatot, vagy az integrálszámítás \(\displaystyle \int (1/x){\rm d}x=\ln x+\text{állandó}\) képletét). A második összegben \(\displaystyle V\) lineárisan változó kifejezése szerepel, ami \(\displaystyle V=V_0/2\)-nél \(\displaystyle DV_0/A^2,\) és \(\displaystyle V=V_0\)-nál nulla, így az átlagos értéke \(\displaystyle DV_0/(2A^2).\) Ezt megszorozva a térfogat teljes változásával, vagyis \(\displaystyle V_0/2\)-vel, az eredmény \(\displaystyle DV_0^2/(4A^2)=DL^2/4.\) A gáz által végzett munka ezek szerint
\(\displaystyle W^\text{(gáz)}=\ln2\cdot p_0V_0+\frac{1}{4}DL^2,\)
a felvett hő pedig
\(\displaystyle Q= \left(5+\ln2\right)p_0V_0+4DL^2,\)
amit így is írhatunk:
\(\displaystyle Q=(5+\ln 2)\,nRT_0+4DL^2.\)
II. megoldás. Írjuk fel az I. főtételt a teljes rendszerre (ami a tartály két részéből és a rugókból áll). A jobb oldali térfélben lévő gáz felvesz valamekkora \(\displaystyle Q\) hőt, a bal oldali részben lévő gáz viszont lead \(\displaystyle Q^\text{(le)}\) hőt a hőtartálynak. Az I. főtétel szerint
\(\displaystyle Q-Q^\text{(le)}=\Delta E_{\rm b}^{\text(\rm bal)}+\Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}+\Delta E^\text{(rugalmas)}.\)
A bal oldalon lévő gáz hőmérséklete nem változik, emiatt \(\displaystyle \Delta E_{\rm b}^\text{(bal)}=0\). A jobb oldali gázra (az I. megoldás jelöléseit és megfontolásait követve) felírhatjuk:
\(\displaystyle \Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}=5p_0V_0+\frac{15}{4}DL^2.\)
Az összenyomott és kinyújtott rugók rugalmas energiája:
\(\displaystyle E^\text{(rugalmas)}=\frac{1}{2}D\left(\frac{L}{2}\right)^2+\frac{1}{2}D\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac14 DL^2.\)
A bal oldali térfélben lévő gázon a dugattyú az izotermikus összenyomás során \(\displaystyle \ln2\cdot p_0V_0\) munkát végez. A gáz belső energiája nem változik, tehát a leadott hő is ugyanakkora, mint a munka:
\(\displaystyle Q^\text{(le)}=\ln2\cdot p_0V_0.\)
Így az I. főtétel szerint
\(\displaystyle Q=Q^\text{(le)}+\Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}+\Delta E^\text{(rugalmas)} =(5+\ln 2)\,nRT_0+4DL^2.\)
Statisztika:
30 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Kertész Balázs, Somlán Gellért, Toronyi András. 4 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Téglás Panna, Varga Mária Krisztina, Waldhauser Miklós, Yokota Adan. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. januári fizika feladatai