A P. 5379. feladat (2022. január)

P. 5379. Ideális polárszűrők segítségével szeretnénk a lineárisan polarizált fény polarizációs síkját \(\displaystyle 45^\circ\)-kal elforgatni úgy, hogy az intenzitásveszteség legfeljebb 10% legyen. Legalább hány polárszűrőre van szükségünk, és hogyan kell azokat optimálisan elhelyezni?

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. február 18-án LEJÁRT.

Megoldás. A rövidség kedvéért nevezzük egy ideális polárszűrő irányának a szűrőn áthaladó fény polarizációjának irányát. Ha egy lineárisan polarizált fény polarizációs irányával \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró irányú szűrőt helyezünk el, és a fényhullám \(\displaystyle \boldsymbol E\) elektromos térerősségvektorát felbontjuk a polárszűrő irányával párhuzamos és arra merőleges összetevőkre, akkor a szűrő csak az \(\displaystyle \boldsymbol E\cdot \cos\alpha\) nagyságú komponenst engedi át. A polárszűrő tehát az elektromos térerősség nagyságát \(\displaystyle \cos\alpha\) arányban, az intenzitást \(\displaystyle \cos^2\alpha\) arányban csökkenti, és a fény polarizáció irányát \(\displaystyle \alpha\) szöggel elforgatja.

Ha \(\displaystyle n\) darab polárszűrőt helyezünk el egymáshoz képest ugyanakkora, \(\displaystyle \alpha= {45^\circ}/{n}\) szögben, akkor az együttes hatásukra a fény intenzitása \(\displaystyle \cos^{2n}(45^\circ/n)\) arányban csökken. Különböző \(\displaystyle n\) értékeket behelyettesítve ,,próbálgatással'' kapjuk, hogy a monoton növekvő arányszám-sorozat \(\displaystyle n=5\)-re még 0,88, \(\displaystyle n=6\)-ra viszont 0,902, tehát \(\displaystyle 90\%\)-nál nagyobb. Megállapíthatjuk, hogy legalább 6 db polárszűrőre van szükségünk, amelyeket egymással 7,5\(\displaystyle ^\circ\)-os szögben kell elhelyezzünk.

Be kell még látnunk, hogy ha a \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget nem egyenlő arányban osztjuk fel \(\displaystyle n\) részre, akkor az intenzitáscsökkenés nagyobb, tehát a helyzet kedvezőtlenebb lesz, mint az egyenközű felosztásnál volt. Tekintsünk egy olyan elrendezést, amelynél a szomszédos polárszűrők közötti szögek közül a legnagyobb \(\displaystyle \alpha\), a legkisebb pedig \(\displaystyle \beta\) (ahol \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \alpha+\beta\) is hegyesszög.)

Megmutatjuk, hogy ezen két szűrő által okozott intenzitáscsökkenés adott \(\displaystyle \alpha+\beta=\varphi\) mellett akkor a legkisebb, vagyis \(\displaystyle \cos^2\alpha\cdot \cos^2\beta\) akkor a legnagyobb, amikor \(\displaystyle \alpha=\beta=\frac12\varphi\). Valóben, az amplitúdók változási arányszámára fennáll:

\(\displaystyle \cos\alpha\cdot \cos\beta=\frac12 \cos(\alpha+\beta)+\frac12 \cos(\alpha-\beta)\le \frac12(\cos\varphi+1)=\cos^2(\varphi/2),\)

és ugyanilyen irányú egyenlőtlenség érvényes az intenzitásokra is. Az egyenlőség akkor teljesül, ha \(\displaystyle \alpha=\beta=\varphi/2\).

Ezek szerint ha a polárszűrők közötti legnagyobb és a legkisebb szöget azok átlagával helyettesítjük, az átengedett fény intenzitása megnő. Ezt az eljárást (véges vagy végtelen) sokszor megismételve eljutunk a legkedvezőbb helyzetig, amelyben a szomszédos polárszűrők mind ugyanakkora (\(\displaystyle 45^\circ/n\)) szöget zárnak be egymással.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Bencz Benedek, Kertész Balázs.

A KöMaL 2022. januári fizika feladatai