A P. 5389. feladat (2022. február)

P. 5389. Egy (pontszerűnek tekinthető) légy repül állandó \(\displaystyle v\) sebességgel az \(\displaystyle f\) fókusztávolságú lencse optikai tengelyével párhuzamosan, attól \(\displaystyle d\) távolságra. Legalább mekkora nagyságú a légy és a légy képének relatív sebessége?

Észtországi versenyfeladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. A légy képét a nevezetes sugármenetek segítségével kaphatjuk meg (1. ábra). A kép biztosan rajta van az optikai tengelytől \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle AP\) egyenes megtört fénysugarán, vagyis az \(\displaystyle AF\) egyenesen, amely \(\displaystyle \alpha={\rm arctg}\, \frac{d}{f}\) szöget zár be az optikai tengellyel. A kép \(\displaystyle \boldsymbol u\) sebességgel mozog az \(\displaystyle AF\) egyenes mentén, nagysága attól függ, hogy a légy éppen hol tartózkodik. (\(\displaystyle u\) nulla és végtelen között bármilyen értéket felvehet.)

1. ábra

A légy és a légy képének \(\displaystyle \boldsymbol w\) relatív sebessége a 2. ábrán látható szerkesztéssel határozható meg. \(\displaystyle \boldsymbol w\) nagyságának legkisebb értéke annak a helyzetnek felel meg, amelynél \(\displaystyle \boldsymbol w\) merőleges \(\displaystyle \boldsymbol u\)-ra, és ilyenkor (lásd a 3. ábrát)

\(\displaystyle w_\text{min}=v\sin\alpha= v\frac{d}{\sqrt{d^2+f^2}}.\)

2. ábra

3. ábra

II. megoldás. Számítsuk ki a légy képének sebességét, annak az optikai tengellyel párhuzamos (\(\displaystyle u_1\)), illetve merőleges (\(\displaystyle u_2\)) komponensét. Célszerű lesz, ha a \(\displaystyle t\) tárgytávolság és a \(\displaystyle k\) képtávolság helyett az

\(\displaystyle x=t-f \qquad \text{és} \qquad y=k-f\)

változókat használjuk, ahogy ezt Newton is tette. A leképezési törvény ezekkel a változókkal így néz ki:

\(\displaystyle x\cdot y=f^2.\)

Az optikai tengellyel párhuzamos sebességkomponens

\(\displaystyle u_1=\frac{\Delta k}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta t},\)

a \(\displaystyle t\) tárgytávolság változás sebessége pedig

\(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}=-v.\)

Egy adott pillanatbeli és annál egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) időtartammal későbbi állapot között fennáll, hogy

\(\displaystyle xy=f^2, \qquad \text{illetve}\qquad (x-v \Delta t)(y+\Delta y)=f^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle u_1=\frac{\Delta y}{\Delta t}=v\frac{y}{x}+v\frac{\Delta y}{x}\approx v\frac{y}{x}=v\frac{f^2}{x^2}.\)

A légy képének és a légynek a relatív sebességét \(\displaystyle \boldsymbol w\)-vel jelölve, ennek a vektornak az optikai tengely irányú komponense:

\(\displaystyle w_1=u_1-v=v\left(\frac{f^2}{x^2}-1\right).\)

A légy képének az optikai tengelytől mért távolsága:

\(\displaystyle K=d\frac{k}{t}=\frac{ fd}{t-f}=\frac{fd}{x}.\)

A fentiekhez hasonló megfontolással adódik, hogy

\(\displaystyle w_2=u_2=\frac{\Delta K}{\Delta t}=v \frac{fd }{x^2}.\)

A relatív sebesség nagyságának négyzete:

\(\displaystyle \vert\boldsymbol w\vert^2=w_1^2+w_2^2=v^2\left(\frac{f^2}{x^2}-1\right)^2+v^2\frac{f^2d^2}{x^4},\)

ennek legkisebb értékét keressük.

Teljes négyzetté alakítással kapjuk, hogy

\(\displaystyle w^2=\left(\frac{vf\sqrt{f^2+d^2}}{x^2}-\frac{vf}{\sqrt{f^2+d^2}}\right)^2+ \frac{d^2v^2} {f^2+d^2} \ge v^2\frac{d^2} {f^2+d^2},\)

azaz

\(\displaystyle w\ge w_\text{min}=v\frac{d}{\sqrt{f^2+d^2}}.\)

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	Mozolai Bende Bruno.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári fizika feladatai