A P. 5389. feladat (2022. február)

P. 5389. Egy (pontszerűnek tekinthető) légy repül állandó $\displaystyle v$ sebességgel az $\displaystyle f$ fókusztávolságú lencse optikai tengelyével párhuzamosan, attól $\displaystyle d$ távolságra. Legalább mekkora nagyságú a légy és a légy képének relatív sebessége?

Észtországi versenyfeladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. A légy képét a nevezetes sugármenetek segítségével kaphatjuk meg (1. ábra). A kép biztosan rajta van az optikai tengelytől $\displaystyle d$ távolságban lévő $\displaystyle AP$ egyenes megtört fénysugarán, vagyis az $\displaystyle AF$ egyenesen, amely $\displaystyle \alpha={\rm arctg}\, \frac{d}{f}$ szöget zár be az optikai tengellyel. A kép $\displaystyle \boldsymbol u$ sebességgel mozog az $\displaystyle AF$ egyenes mentén, nagysága attól függ, hogy a légy éppen hol tartózkodik. ($\displaystyle u$ nulla és végtelen között bármilyen értéket felvehet.)

1. ábra

A légy és a légy képének $\displaystyle \boldsymbol w$ relatív sebessége a 2. ábrán látható szerkesztéssel határozható meg. $\displaystyle \boldsymbol w$ nagyságának legkisebb értéke annak a helyzetnek felel meg, amelynél $\displaystyle \boldsymbol w$ merőleges $\displaystyle \boldsymbol u$-ra, és ilyenkor (lásd a 3. ábrát)

$\displaystyle w_\text{min}=v\sin\alpha= v\frac{d}{\sqrt{d^2+f^2}}.$

2. ábra

3. ábra

II. megoldás. Számítsuk ki a légy képének sebességét, annak az optikai tengellyel párhuzamos ($\displaystyle u_1$), illetve merőleges ($\displaystyle u_2$) komponensét. Célszerű lesz, ha a $\displaystyle t$ tárgytávolság és a $\displaystyle k$ képtávolság helyett az

$\displaystyle x=t-f \qquad \text{és} \qquad y=k-f$

változókat használjuk, ahogy ezt Newton is tette. A leképezési törvény ezekkel a változókkal így néz ki:

$\displaystyle x\cdot y=f^2.$

Az optikai tengellyel párhuzamos sebességkomponens

$\displaystyle u_1=\frac{\Delta k}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta t},$

a $\displaystyle t$ tárgytávolság változás sebessége pedig

$\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}=-v.$

Egy adott pillanatbeli és annál egy kicsiny $\displaystyle \Delta t$ időtartammal későbbi állapot között fennáll, hogy

$\displaystyle xy=f^2, \qquad \text{illetve}\qquad (x-v \Delta t)(y+\Delta y)=f^2,$

ahonnan

$\displaystyle u_1=\frac{\Delta y}{\Delta t}=v\frac{y}{x}+v\frac{\Delta y}{x}\approx v\frac{y}{x}=v\frac{f^2}{x^2}.$

A légy képének és a légynek a relatív sebességét $\displaystyle \boldsymbol w$-vel jelölve, ennek a vektornak az optikai tengely irányú komponense:

$\displaystyle w_1=u_1-v=v\left(\frac{f^2}{x^2}-1\right).$

A légy képének az optikai tengelytől mért távolsága:

$\displaystyle K=d\frac{k}{t}=\frac{ fd}{t-f}=\frac{fd}{x}.$

A fentiekhez hasonló megfontolással adódik, hogy

$\displaystyle w_2=u_2=\frac{\Delta K}{\Delta t}=v \frac{fd }{x^2}.$

A relatív sebesség nagyságának négyzete:

$\displaystyle \vert\boldsymbol w\vert^2=w_1^2+w_2^2=v^2\left(\frac{f^2}{x^2}-1\right)^2+v^2\frac{f^2d^2}{x^4},$

ennek legkisebb értékét keressük.

Teljes négyzetté alakítással kapjuk, hogy

$\displaystyle w^2=\left(\frac{vf\sqrt{f^2+d^2}}{x^2}-\frac{vf}{\sqrt{f^2+d^2}}\right)^2+ \frac{d^2v^2} {f^2+d^2} \ge v^2\frac{d^2} {f^2+d^2},$

azaz

$\displaystyle w\ge w_\text{min}=v\frac{d}{\sqrt{f^2+d^2}}.$

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	Mozolai Bende Bruno.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári fizika feladatai