A P. 5391. feladat (2022. március)

P. 5391. Egy mély kútba követ ejtünk. A csobbanás hangját 4,25 s-mal az elejtés után halljuk meg. Milyen mélynek találjuk a kutat, ha \(\displaystyle g = 10~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 320~\mathrm{m/s}\)-mal számolunk? Mekkorának adódik a kút mélysége, ha \(\displaystyle g = 9{,}81~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 340~\mathrm{m/s}\)-mal számolunk? (A közegellenállás hatását hanyagoljuk el.)

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a kút mélysége \(\displaystyle h\), akkor a kő \(\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) idő alatt esik le a vízfelszínig, onnan pedig a hang \(\displaystyle t_2=\frac{h}{v_\text{hang}}\) idő alatt érkezik meg a fülünkig. A 4,25 s-os időkülönbséget \(\displaystyle T\)-vel jelölve fennáll, hogy

\(\displaystyle \sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v_\text{hang}}=T,\)

ami az \(\displaystyle x=\sqrt{h}\) mennyiségre nézve másodfokú egyenlet:

\(\displaystyle x^2+\left(\sqrt{\frac{2 }{g}}v_\text{hang}\right)\,x-v_\text{hang}T=0.\)

Amennyiben \(\displaystyle g = 10\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 320\) m/s-mal számolunk, az egyenlet (SI egységeket használva):

\(\displaystyle x^2+143{,}1\, x-1360=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}95\), vagyis \(\displaystyle h=80~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,00 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,25 s alatt ér el a fülünkig.

Ha \(\displaystyle g = 9{,}81\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 340 \) m/s-mal számolunk, az egyenlet:

\(\displaystyle x^2+153{,}5\, x-1445=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}90\), vagyis \(\displaystyle h=79{,}2~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,02 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,23 s alatt ér el a fülünkig.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bálint Máté, Beke Bálint, Biebel Botond, Borsos Balázs, Brezina Gergely, Csonka Illés, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Füles Ferenc, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Horváth 221 Zsóka, Josepovits Gábor, Juhász-Molnár Erik, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kiss 625 Dóra, Kiss Ádám , Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Mucsi Viktor, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Sándor Dominik, Sass Ágota, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Toronyi András, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	Kaltenecker Balázs Bence, Lipóczi Levente, Szabó Márton, Varga 451 Erik.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai