A P. 5392. feladat (2022. március)

P. 5392. Egy szökőkút középső nyílásán függőlegesen kiáramló vékony vízsugár $\displaystyle H$ magasságig jut el. A vízsugár ,,vízhozama'', azaz az időegységenként kiáramló víz térfogata: $\displaystyle \Phi=\frac{\Delta V}{\Delta t}$. Milyen $\displaystyle h$ magasságban lebeg egy $\displaystyle m$ tömegű labda, ha a vízsugárba helyezzük? (Feltételezhetjük, hogy a vízsugár teljes keresztmetszete eléri a labdát, és arról vízszintes irányban spriccel szét.)

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle H$ magasságig eljutó vízsugár a csőből $\displaystyle v_0=\sqrt{2gH}$ sebességgel áramlik ki. A víz sebessége $\displaystyle h$ magasságban

$\displaystyle v=\sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{2g(H-h)}.$

A labdát egy kicsiny $\displaystyle \Delta t$ idő alatt $\displaystyle \Delta V=\Phi\Delta t$ térfogatú, tehát $\displaystyle \Delta m=\varrho\Phi\Delta t$ tömegű víz éri el ($\displaystyle \varrho$ a víz sűrűsége), aminek a lendülete: $\displaystyle I=v\Delta m=v\varrho\Phi\Delta t$. Ez a lendület a labdával történő ,,ütközés'' (szétspriccelés) után nulla lesz, vagyis az időegységre eső változása:

$\displaystyle \frac{\Delta I}{\Delta t}= -v\varrho\Phi= -\varrho\Phi\sqrt{2g(H-h)}.$

Ezt a lendületváltozást a kiszemelt ,,vízdarabkákra'' ható külső erő, $\displaystyle -mg$ okozza. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a labda lefelé, a lendülettel ellentétest irányban nyomja a vizet.) Newton törvénye szerint

$\displaystyle \frac{\Delta I}{\Delta t}=-mg,$

vagyis $\displaystyle \varrho\Phi\sqrt{2g(H-h)}=mg$, azaz a keresett magasság:

$\displaystyle h=H-\frac{m^2 g}{2\rho^2\Phi^2}.$

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Biebel Botond, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Juhász Júlia, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Ramesh Dange, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond.
4 pontot kapott:	Albert Máté, Csonka Illés, Ferencz Kamilla.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai