A P. 5394. feladat (2022. március)

P. 5394. Egy \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, ellipszis alakú lemez féltengelyeinek hossza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). Mekkora a test tehetetlenségi nyomatéka a \(\displaystyle 2a\) hosszúságú nagytengely végpontján átmenő, a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva? (A feladat elemi úton is megoldható.)

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. Helyezzük el az ellipszis alakú lemezt egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek origója az ellipszis középpontja, \(\displaystyle x\) tengelye a nagytengely, \(\displaystyle y\) tengelye pedig az ellipszis kistengelye. Számítsuk ki a lemez tehetetlenségi nyomatékát a koordinátarendszer tengelyeire vonatkoztatva. A lemezt gondolatban nagyon kicsi, \(\displaystyle \Delta m_i\) tömegű, \(\displaystyle \left(x_i, y_i, 0\right)\) koordinátájú darabkákra osztva a tehetetlenségi nyomatékok definíciója szerint

\(\displaystyle \Theta_x=\sum \Delta m_i y_i^2,\)

\(\displaystyle \Theta_y=\sum \Delta m_i x_i^2,\)

és

\(\displaystyle \Theta_z=\sum \Delta m_i \left(x_i^2+y_i^2\right).\)

Ismert (táblázatban megtalálható adat), hogy egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle R\) sugarú vékony, homogén körlemez tehetetlenségi nyomatéka a síkjára merőleges szimmetriatengelyre vonatkoztatva \(\displaystyle \Theta_z=\frac{1}{2}mR^2.\) Egy ilyen lemeznél a szimmetriája miatt fennáll, hogy

\(\displaystyle \Theta^\text{(kör)}_x=\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{2}\Theta^\text{(kör)}_z=\frac{1}{4}mR^2.\)

Nyújtsuk meg – gondolatban – a körlemezt az \(\displaystyle y\) tengely mentén \(\displaystyle b/R\) arányban, az \(\displaystyle x\) tengely mentén pedig \(\displaystyle a/R\) arányban, egyenletesen. Ekkor egy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) féltengelyű ellipszislemezt kapunk. Mivel \(\displaystyle \Theta_x\) kiszámításánál csak az \(\displaystyle y_i\) koordináták kapnak szerepet, és azok \(\displaystyle b/R\) arányban zsugorodtak össze, \(\displaystyle \Theta_y\) képletében pedig csak az \(\displaystyle x_i\) koordináták szerepelnek, azt kapjuk tehát, hogy

\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_x=\left( \frac{b}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_x=\frac{1}{4}mb^2,\)

és hasonlóan

\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_y=\left( \frac{a}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{4}ma^2.\)

Ezek szerint az ellipszis alakú lemezre

\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_z=\Theta^\text{(ellipszis)}_x+\Theta^\text{(ellipszis)}_y=\frac{1}{4}m\left(a^2+b^2\right).\)

A feladatban szereplő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel alkalmazásával kapjuk:

\(\displaystyle \Theta=\Theta^\text{(ellipszis)}_z+ma^2=\frac{1}{4}m\left(5a^2+b^2\right).\)

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai