A P. 5394. feladat (2022. március)

P. 5394. Egy $\displaystyle m$ tömegű, homogén tömegeloszlású, ellipszis alakú lemez féltengelyeinek hossza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$. Mekkora a test tehetetlenségi nyomatéka a $\displaystyle 2a$ hosszúságú nagytengely végpontján átmenő, a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva? (A feladat elemi úton is megoldható.)

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. Helyezzük el az ellipszis alakú lemezt egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek origója az ellipszis középpontja, $\displaystyle x$ tengelye a nagytengely, $\displaystyle y$ tengelye pedig az ellipszis kistengelye. Számítsuk ki a lemez tehetetlenségi nyomatékát a koordinátarendszer tengelyeire vonatkoztatva. A lemezt gondolatban nagyon kicsi, $\displaystyle \Delta m_i$ tömegű, $\displaystyle \left(x_i, y_i, 0\right)$ koordinátájú darabkákra osztva a tehetetlenségi nyomatékok definíciója szerint

$\displaystyle \Theta_x=\sum \Delta m_i y_i^2,$

$\displaystyle \Theta_y=\sum \Delta m_i x_i^2,$

és

$\displaystyle \Theta_z=\sum \Delta m_i \left(x_i^2+y_i^2\right).$

Ismert (táblázatban megtalálható adat), hogy egy $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle R$ sugarú vékony, homogén körlemez tehetetlenségi nyomatéka a síkjára merőleges szimmetriatengelyre vonatkoztatva $\displaystyle \Theta_z=\frac{1}{2}mR^2.$ Egy ilyen lemeznél a szimmetriája miatt fennáll, hogy

$\displaystyle \Theta^\text{(kör)}_x=\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{2}\Theta^\text{(kör)}_z=\frac{1}{4}mR^2.$

Nyújtsuk meg – gondolatban – a körlemezt az $\displaystyle y$ tengely mentén $\displaystyle b/R$ arányban, az $\displaystyle x$ tengely mentén pedig $\displaystyle a/R$ arányban, egyenletesen. Ekkor egy $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ féltengelyű ellipszislemezt kapunk. Mivel $\displaystyle \Theta_x$ kiszámításánál csak az $\displaystyle y_i$ koordináták kapnak szerepet, és azok $\displaystyle b/R$ arányban zsugorodtak össze, $\displaystyle \Theta_y$ képletében pedig csak az $\displaystyle x_i$ koordináták szerepelnek, azt kapjuk tehát, hogy

$\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_x=\left( \frac{b}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_x=\frac{1}{4}mb^2,$

és hasonlóan

$\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_y=\left( \frac{a}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{4}ma^2.$

Ezek szerint az ellipszis alakú lemezre

$\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_z=\Theta^\text{(ellipszis)}_x+\Theta^\text{(ellipszis)}_y=\frac{1}{4}m\left(a^2+b^2\right).$

A feladatban szereplő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel alkalmazásával kapjuk:

$\displaystyle \Theta=\Theta^\text{(ellipszis)}_z+ma^2=\frac{1}{4}m\left(5a^2+b^2\right).$

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai