A P. 5397. feladat (2022. március)

P. 5397. Egy \(\displaystyle Q=10^{-9}~\mathrm{C}\) töltésű kicsiny testet egy nagy méretű, földelt fémlemeztől \(\displaystyle d=10~\mathrm{cm}\) távolságban szigetelő állványon rögzítettünk.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a fémlemez felületi töltéssűrűsége a kicsiny testhez legközelebb eső \(\displaystyle P\) pontjában?

\(\displaystyle b)\) Milyen messze van \(\displaystyle P\)-től az a pont, ahol a fémlemez felületi töltéssűrűsége a maximális értéknek egyharmada?

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle Q\) töltés megosztást hoz létre a fémlemezben, és a kialakuló elektromos tér olyan lesz, mintha a lemez túlsó oldalán, ugyancsak \(\displaystyle d\) távolságban egy \(\displaystyle -Q\) töltésű kicsiny test helyezkedne el. A valódi töltés és a ,,tükörtöltés'' eredő elektromos tere a fémfelület határán merőleges lesz a lemezre, és a nagysága a \(\displaystyle P\) pontban:

\(\displaystyle E(P)=2\cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{d^2}.\)

A fémlemez felületi töltéssűrűségének nagysága (a Gauss-féle fluxustörvény szerint)

\(\displaystyle \eta(P)=\varepsilon_0E(P)=\frac{Q}{2\pi d^2}.\)

(A felületi töltések előjele ellentétes \(\displaystyle Q\) előjelével, tehát negatív.)

\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle P\) ponttól \(\displaystyle x\) távolságban a lemeznél a \(\displaystyle Q\) töltéstől származó \(\displaystyle \boldsymbol E_1\) elektromos térerősség nagysága

\(\displaystyle E_1(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{d^2+x^2},\)

amelynek a felületre merőleges komponense:

\(\displaystyle E_\text{merőleges}(x)=\vert \boldsymbol E_1\vert\,\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}}.\)

Az eredő (a töltéstől és a tükörtöltéstől származó) térerősség a lemeznél a \(\displaystyle P\) ponttól \(\displaystyle x\) távolságban

\(\displaystyle E(x)=2\cdot E_\text{merőleges}(x)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0}\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}},\)

a felületi töltéssűrűség nagysága pedig

\(\displaystyle \eta(x)=\varepsilon_0E(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}}.\)

Az \(\displaystyle \eta(x)=\tfrac13\eta (P)\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle x=d\sqrt{3^{2/3}-1}=10{,}4~ \rm cm.\)

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Dóra Márton, Gábriel Tamás, Schmercz Blanka, Téglás Panna.
3 pontot kapott:	Kovács Kinga, Somlán Gellért.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai