A P. 5398. feladat (2022. március)

P. 5398. Digitális fényképezőgépen 35 mm gyújtótávolságú objektív található, melynek közelpontja 25 cm. A közelpont az a szenzortól mért legkisebb távolság, ahonnan az objektív még képes fókuszálni.

\(\displaystyle a)\) Hogyan változik meg a közelpont távolsága, ha az objektív és a fényképezőgép közé egy közgyűrűt helyezünk, melynek hatására az objektív 12 mm-rel messzebbre kerül a szenzortól?

\(\displaystyle b)\) Készítsünk egy közelpontba helyezett tárgyról felvételt közgyűrűvel és anélkül. Hogyan aránylik egymáshoz ezen két kép nagysága?

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Tudjuk, hogy a közelpontban \(\displaystyle t+k=250\) mm, és ismerjük fókusztávolságot: \(\displaystyle f=35\) mm. A leképezési törvény szerint

\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{t},\)

ahonnan

\(\displaystyle t=\frac{kf}{k-f},\)

\(\displaystyle t+k=\frac{k^2}{k-f}=250~\rm mm,\)

vagyis (milliméter egységekkel számolva)

\(\displaystyle k^2-250\,k+250\cdot 35=0.\)

Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei (kerekítve): \(\displaystyle k_1=42~\rm mm\) és \(\displaystyle k_2=208~\rm mm\). A fényképezőgép esetében a \(\displaystyle k_1\) gyök az ,,életszerű''. Ezek szerint az objektívet legfeljebb 42 mm-re lehet eltávolítani a képet rögzítő szenzortól.

Megjegyzés. A másodfokú egyenlet másik gyöke egy olyan berendezésnek felel meg, amelynél az objektív és a szenzor legkisebb távolsága 208 mm lehet, és ennek megfelelően a tárgytávolság 35 mm és 42 mm között változhat. Ennek a furcsa eszköznek is 250 mm a ,,közelpontja'', de a berendezés – a megszokott értelemben – nem nevezhető fényképezőgépnek.

Egy \(\displaystyle d=12~\)mm vastag közgyűrű közbeiktatásával a legkisebb képtávolság \(\displaystyle k'=k+d=54~\)mm-re módosul. Az ehhez tartozó tárgytávolság

\(\displaystyle t'=\frac{k'f}{k'-f}=99~{\rm mm},\)

vagyis a közelpont távolsága \(\displaystyle t'+k'=153~{\rm mm}=15{,}3~\rm cm\)-re csökken.

\(\displaystyle b)\) A nagyítások:

\(\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}, \qquad \text{illetve}\qquad N'=\frac{k'}{t'}=\frac{f}{t'-f}.\)

A két nagyítás aránya:

\(\displaystyle \frac{N'}{N}= \frac{t-f}{t'-f}=\frac{208-35}{99-35}=2{,}7.\)

A közgyűrű behelyezése után tehát a közelpontba helyezett tárgy képe csaknem háromszorosára nő.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Téglás Panna, Toronyi András.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai