A P. 5399. feladat (2022. március)

P. 5399. Egy vékony, $\displaystyle \delta$ vastagságú fémlemezből nagy, kúp alakú felületet hegesztettünk össze. A kúp $\displaystyle A$-val jelölt csúcsába $\displaystyle I$ erősségű áramot vezetünk, majd az egyik alkotón lévő $\displaystyle B$ pontból elvezetjük azt. Határozzuk meg a $\displaystyle B$-vel átellenes $\displaystyle C$ pontban az áramsűrűség-vektor irányát és nagyságát! Ismert, hogy az $\displaystyle AB$ távolság értéke $\displaystyle 3R$, míg a $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontok távolsága $\displaystyle 2R$.

Közli: Vigh Máté, Biatorbány

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.

Megoldás. Az áramsűrűség olyan vektor, amely a töltések mozgásának irányába mutat, nagysága pedig a töltések mozgásirányára merőleges, egységnyi nagyságú felületen egységnyi idő alatt áthaladó töltések nagyságával egyezik meg.

Az egész elrendezés szimmetrikus az $\displaystyle ABC$ síkra való tükrözésre, emiatt a $\displaystyle C$ pontbeli áramsűrűség-vektor biztosan $\displaystyle AC$ irányú. Ez annyit jelent, hogy az $\displaystyle AC$ egyenesen keresztül sehol nem folyik áram, tehát a kúppalástot felvághatjuk az $\displaystyle AC$ alkotója mentén, ettől nem változik meg az árameloszlás.

Terítsük ki síkba a felvágott fémlemezt! Mivel az $\displaystyle AB$ távolság háromszor nagyobb, mint a $\displaystyle CBC$ kör sugara, a kiterített fémlemez a teljes síknak egyharmada, $\displaystyle 120^\circ$-os szöget bezáró félegyenesek által határolt része lesz (1. ábra). Az ábrán a $\displaystyle C$ pont két helyen is látható, a keresett áramsűrűség ezen két ponthoz tartozó áramsűrűségek összege.

1. ábra

Ha egy teljes (,,végtelen nagy'') sík $\displaystyle A$ pontjába $\displaystyle I$ erősségű áramot vezetünk, az szimmetrikusan fut szét, és az áramsűrűség nagysága az áram bevezetési pontjától $\displaystyle r$ távolságban lévő $\displaystyle P$ pontban

$\displaystyle j_A(P)=\frac{I}{2\pi\delta}\,\frac{1}{r},$

iránya pedig $\displaystyle AP$-vel párhuzamos. Amennyiben a végtelen sík egy másik, $\displaystyle B$ pontjánál $\displaystyle I$ erősségű áramot vezetünk ki a fémből, az áramsűrűség nagysága a $\displaystyle P$ pontban

$\displaystyle j_B(P)=-\frac{I}{2\pi\delta}\,\frac{1}{r'},$

ahol $\displaystyle r'=BP$, iránya pedig $\displaystyle BP$-vel párhuzamos. Az eredő árameloszlás áramsűrűség-vektora $\displaystyle \boldsymbol j_A$ és $\displaystyle \boldsymbol j_B$ összege, szuperpoziciója.

A felvágott és kiterített kúppalást esetében a szuperpozició még nem adja meg a helyes árameloszlást, hiszen nem teljesíti azt a feltételt, hogy az $\displaystyle AC$ félegyenes áramvonal legyen. Egy kis kiegészítéssel azonban mégis célhoz érhetünk, ha alkalmazzuk (az elektrosztatikai tükörtöltésekre emlékeztető) ,,tüköráram-módszerét''. Helyezzünk el – gondolatban – a ténylegesen létező fémsíkdarab mellé két másik $\displaystyle 120^\circ$-os csúcsszögű síkharmadot, és ezek mindegyikének csúcspontjánál vezessünk be $\displaystyle I$ erősségű áramot (összesen tehát $\displaystyle 3I$-t), a $\displaystyle B'$ és $\displaystyle B''$ pontoknál pedig ugyanekkora erősségű áramot vezessünk el a síkból (2. ábra). Az ábrán a három tartomány között – az áttekinthetőség kedvéért – egy kicsiny távolságot hagytunk, de ezt a számolás során nulla szélességűnek kell tekintenünk.

2. ábra

A síkharmad árameloszlását szuperponálva azt kapjuk, hogy a ténylegesen létező fémlemezben folyó árameloszlás olyan, mintha a végtelen sík $\displaystyle A$ pontjába $\displaystyle 3I$ erősségű áramot vezetnénk be, a $\displaystyle B$, $\displaystyle B'$ és $\displaystyle B''$ pontoknál pedig $\displaystyle I$-t ki. Az elrendezés szimmetriája miatt a síkharmadokat határoló félegyenesek mindegyike áramvonal, tehát az eredeti fémlemezre vonatkozó határfeltétel valóban teljesül.

A $\displaystyle C$ pontban az eredő áramsűrűség a 3. ábra szerint

$\displaystyle \boldsymbol j(C)=\boldsymbol j_A(C)+\boldsymbol j_B(C)+\boldsymbol j_{B'}(C)+\boldsymbol j_{B''}(C),$

ahol a vektorok nagysága:

$\displaystyle j_A(C)=\frac{3I}{2\pi\delta}\,\frac{1}{3R},\qquad j_{B}(C)=j_{B''}(C)=\frac{I}{2\pi\delta}\,\frac{1}{3R} \qquad\text{és}\qquad j_{B'}(C)=\frac{I}{2\pi\delta}\,\frac{1}{6R}.$

3. ábra

Az eredő áramsűrűség nagysága (az egyes összetevők irányát is figyelembe véve):

$\displaystyle j(C)=j_A(C)-\frac{1}{2}j_{B}(C)-\frac{1}{2}j_{B''}(C)-j_{B'}(C)=\frac{I}{4\pi\delta R},$

iránya pedig $\displaystyle A$-ból $\displaystyle C$ felé mutat.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Toronyi András.
5 pontot kapott:	Téglás Panna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai