 |
A P. 5401. feladat (2022. április) |
P. 5401. Egy kicsiny (pontszerűnek tekinthető), de nehéz testet két egyforma hosszú, közel azonos teherbírású fonálon tartunk. A fonalak felső végét egy vízszintes egyenes mentén lassan eltávolítjuk egymástól. Amikor a fonalak \(\displaystyle 2\alpha\) szöget zárnak be egymással, az egyik fonál elszakad, és a test a másik fonál rögzítettnek tekinthető vége körül ingaként lengeni kezd. Mekkora lehetett \(\displaystyle \alpha\), ha a másik fonál a lengések során nem szakad el?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a fonalak hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, a szakítószilárdságukat \(\displaystyle K_0\)-lal, a test tömegét pedig \(\displaystyle m\)-mel. A fonál elszakadását megelőző pillanatban a fonalakat \(\displaystyle K_0\) erő feszíti, amelyek függőleges komponense tart egyensúlyt a test súlyával:
\(\displaystyle 2K_0\cos\alpha=mg, \qquad \text{vagyis}\qquad K_0=\frac{mg}{2\cos\alpha}.\)
Az \(\displaystyle \alpha\) szögben kitérített inga lengésbe kezd, és az inga fonalát függőleges helyzetében feszíti a legnagyobb erő. A test sebessége a legmélyebb helyzetben (az energiamegmaradás törvénye szerint)
\(\displaystyle v=\sqrt{2g\ell(1-\cos\alpha)},\)
vagyis a centripetális gyorsulás ekkor
\(\displaystyle a=\frac{v^2}{\ell}=2g(1-\cos\alpha).\)
A test mozgásegyenlete a pálya legalsó pontjánál:
\(\displaystyle K-mg=ma,\)
így a fonalat feszítő erő:
\(\displaystyle K=mg(3-2\cos\alpha).\)
A fonál akkor nem szakad el, ha \(\displaystyle K<K_0\), vagyis
\(\displaystyle 3-2\cos\alpha<\frac{1}{2\cos\alpha}.\)
Határesetben, amikor \(\displaystyle K =K_0\), vagyis a fonál éppen elszakadna, a következő (\(\displaystyle x=\cos\alpha\) ismeretlenre nézve másodfokú) egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=0.\)
Ennek gyökei:
\(\displaystyle x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{4}\approx 0{,}19 \qquad \text{és}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\approx 1{,}31.\)
A \(\displaystyle K<K_0\) feltétel akkor teljesül, ha \(\displaystyle x<x_1\), vagyis \(\displaystyle \alpha>79^\circ\). Ebben az esetben, vagyis ha a lassan széthúzott végű fonalak kb. \(\displaystyle 158^\circ\)-os szöget zártak be egymással az egyikük elszakadásakor, a további lengések során a másik fonál biztosan nem szakad el.
Statisztika:
39 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Mészáros Ádám, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós. 4 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Hegedűs Máté Miklós, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Veszprémi Rebeka Barbara. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai