A P. 5401. feladat (2022. április)

P. 5401. Egy kicsiny (pontszerűnek tekinthető), de nehéz testet két egyforma hosszú, közel azonos teherbírású fonálon tartunk. A fonalak felső végét egy vízszintes egyenes mentén lassan eltávolítjuk egymástól. Amikor a fonalak $\displaystyle 2\alpha$ szöget zárnak be egymással, az egyik fonál elszakad, és a test a másik fonál rögzítettnek tekinthető vége körül ingaként lengeni kezd. Mekkora lehetett $\displaystyle \alpha$, ha a másik fonál a lengések során nem szakad el?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a fonalak hosszát $\displaystyle \ell$-lel, a szakítószilárdságukat $\displaystyle K_0$-lal, a test tömegét pedig $\displaystyle m$-mel. A fonál elszakadását megelőző pillanatban a fonalakat $\displaystyle K_0$ erő feszíti, amelyek függőleges komponense tart egyensúlyt a test súlyával:

$\displaystyle 2K_0\cos\alpha=mg, \qquad \text{vagyis}\qquad K_0=\frac{mg}{2\cos\alpha}.$

Az $\displaystyle \alpha$ szögben kitérített inga lengésbe kezd, és az inga fonalát függőleges helyzetében feszíti a legnagyobb erő. A test sebessége a legmélyebb helyzetben (az energiamegmaradás törvénye szerint)

$\displaystyle v=\sqrt{2g\ell(1-\cos\alpha)},$

vagyis a centripetális gyorsulás ekkor

$\displaystyle a=\frac{v^2}{\ell}=2g(1-\cos\alpha).$

A test mozgásegyenlete a pálya legalsó pontjánál:

$\displaystyle K-mg=ma,$

így a fonalat feszítő erő:

$\displaystyle K=mg(3-2\cos\alpha).$

A fonál akkor nem szakad el, ha $\displaystyle K<K_0$, vagyis

$\displaystyle 3-2\cos\alpha<\frac{1}{2\cos\alpha}.$

Határesetben, amikor $\displaystyle K =K_0$, vagyis a fonál éppen elszakadna, a következő ($\displaystyle x=\cos\alpha$ ismeretlenre nézve másodfokú) egyenletet kapjuk:

$\displaystyle x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=0.$

Ennek gyökei:

$\displaystyle x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{4}\approx 0{,}19 \qquad \text{és}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\approx 1{,}31.$

A $\displaystyle K<K_0$ feltétel akkor teljesül, ha $\displaystyle x<x_1$, vagyis $\displaystyle \alpha>79^\circ$. Ebben az esetben, vagyis ha a lassan széthúzott végű fonalak kb. $\displaystyle 158^\circ$-os szöget zártak be egymással az egyikük elszakadásakor, a további lengések során a másik fonál biztosan nem szakad el.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Mészáros Ádám, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Hegedűs Máté Miklós, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Veszprémi Rebeka Barbara.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai