 |
A P. 5404. feladat (2022. április) |
P. 5404. Egy ideális Carnot-gép \(\displaystyle T_1\) és \(\displaystyle T_2\) \(\displaystyle (T_2<T_1)\) hőmérsékletű hőtartályok segítségével (izotermikus és adiabatikus állapotváltozásokon keresztül) ciklusonként \(\displaystyle W\) hasznos munkát tud végezni. Hogyan módosul a hőerőgép hatásfoka, ha a munkahenger dugattyújának kicsiny súrlódása miatt ciklusonként \(\displaystyle 2q\) hő fejlődik (\(\displaystyle q\ll W)\), és ez a hő fele-fele arányban megosztva visszakerül a hőtartályokba?
Közli: Wiedemann László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A Carnot-gép hatásfoka
\(\displaystyle \eta_\text{Carnot}=\frac{W}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},\)
tehát a melegebb hőtartályból felvett hő
\(\displaystyle Q_1=\frac{T_1}{T_1-T_2}W.\)
Ha a gép – a dugattyú és a munkahenger közötti súrlódás miatt – veszteséges, akkor a hasznos munka \(\displaystyle W-2q\), a felvett hő pedig \(\displaystyle Q_1-q\) lesz. (A \(\displaystyle 2q\) hőnek a fele visszajut a melegebb hőtartályba.)
A veszteséges hőerőgép hatásfoka:
\(\displaystyle \eta=\frac{W-2q}{Q_1-q}=\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{1-2\frac{q}{W}}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{q}{W}}.\)
Használjuk most ki, hogy az \(\displaystyle \epsilon =q/W\) dimenziótlan arányszám 1-nél sokkal kisebb, ezért a négyzete \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagolható. Algebrai átalakítások után ezt kapjuk:
\(\displaystyle \frac{1-2\epsilon}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon}= \frac{(1-2\epsilon) \left(1+\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)}{1-\left(\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)^2}\approx 1-\left(\frac{T_1+T_2}{T_1}\right)\,\epsilon. \)
Így végül a keresett hatásfok:
\(\displaystyle \eta=\frac{T_1-T_2}{T_1} - \frac{T_1^2-T_2^2}{T_1^2} \frac{q}{W}.\)
Statisztika:
17 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Toronyi András. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai