A P. 5404. feladat (2022. április)

P. 5404. Egy ideális Carnot-gép $\displaystyle T_1$ és $\displaystyle T_2$ $\displaystyle (T_2<T_1)$ hőmérsékletű hőtartályok segítségével (izotermikus és adiabatikus állapotváltozásokon keresztül) ciklusonként $\displaystyle W$ hasznos munkát tud végezni. Hogyan módosul a hőerőgép hatásfoka, ha a munkahenger dugattyújának kicsiny súrlódása miatt ciklusonként $\displaystyle 2q$ hő fejlődik ($\displaystyle q\ll W)$, és ez a hő fele-fele arányban megosztva visszakerül a hőtartályokba?

Közli: Wiedemann László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A Carnot-gép hatásfoka

$\displaystyle \eta_\text{Carnot}=\frac{W}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},$

tehát a melegebb hőtartályból felvett hő

$\displaystyle Q_1=\frac{T_1}{T_1-T_2}W.$

Ha a gép – a dugattyú és a munkahenger közötti súrlódás miatt – veszteséges, akkor a hasznos munka $\displaystyle W-2q$, a felvett hő pedig $\displaystyle Q_1-q$ lesz. (A $\displaystyle 2q$ hőnek a fele visszajut a melegebb hőtartályba.)

A veszteséges hőerőgép hatásfoka:

$\displaystyle \eta=\frac{W-2q}{Q_1-q}=\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{1-2\frac{q}{W}}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{q}{W}}.$

Használjuk most ki, hogy az $\displaystyle \epsilon =q/W$ dimenziótlan arányszám 1-nél sokkal kisebb, ezért a négyzete $\displaystyle \epsilon$ mellett elhanyagolható. Algebrai átalakítások után ezt kapjuk:

$\displaystyle \frac{1-2\epsilon}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon}= \frac{(1-2\epsilon) \left(1+\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)}{1-\left(\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)^2}\approx 1-\left(\frac{T_1+T_2}{T_1}\right)\,\epsilon.$

Így végül a keresett hatásfok:

$\displaystyle \eta=\frac{T_1-T_2}{T_1} - \frac{T_1^2-T_2^2}{T_1^2} \frac{q}{W}.$

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Toronyi András.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai