 |
A P. 5406. feladat (2022. április) |
P. 5406. Maximálisan mekkora potenciálkülönbség hozható létre egy \(\displaystyle U\) feszültségű telep és két egyforma kondenzátor segítségével? A kondenzátorok feltöltésük után szabadon átrendezhetők és újra beköthetők egy hálózatba.
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Mindkét \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátort (külön-külön) feltölthetjük \(\displaystyle U_1=U\) feszültségre, ekkor a lemezeikre \(\displaystyle \pm CU_1\) töltés kerül. Ha most az egyik kondenzátort azonos polaritással sorba kapcsoljuk a teleppel, és velük párhuzamosan kapcsoljuk (ugyancsak azonos polaritással) a másik kondenzátort, akkor ez utóbbi valamekkora \(\displaystyle U_2\) feszültségre töltődik, a másik kondenzátor feszültsége pedig \(\displaystyle U_2-U\) lesz. A töltésmegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle CU_1+CU_1=CU_2+C\left(U_2-U\right),\)
ahonnan
\(\displaystyle U_2=\frac{3}{2}U,\)
a másik kondenzátor feszültsége pedig \(\displaystyle \tfrac12U\) lesz.
Válasszuk le a kisebb töltésű kondenzátort az áramkörről, majd töltsük fel a telep segítségével \(\displaystyle U\) feszültségre és kapcsoljuk vissza az áramkörbe. A másik kondenzátor feszültsége valamekkora \(\displaystyle U_3\) értékre változik, amelyre ezt az egyenletet írhatjuk fel:
\(\displaystyle CU_3+C(U_3-U)=CU_2+CU,\)
ahonnan
\(\displaystyle U_3=\frac12U_2+U=\frac74U\)
adódik.
Ezeket a lépéseket sokszor egymás után megismételjük. Ha az \(\displaystyle n\)-edik lépésben a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége \(\displaystyle U_n\), akkor a következőben
\(\displaystyle U_{n+1}=\frac{U_n}{2}+U.\)
Ebből a rekurziós formulából kiszámíthatjuk, hogy
\(\displaystyle U_4=\frac{15}{8}U,\qquad U_5=\frac{31}{16}U, \qquad U_6=\frac{63}{32}U,\qquad \cdots.\)
Ezek alapján sejthető, hogy a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége egyre közelebb kerül \(\displaystyle 2U\)-hoz, jóllehet azt sohasem éri el. Valóban, ha \(\displaystyle U_n\) és \(\displaystyle 2U\) eltérését \(\displaystyle \Delta U_n\)-nel jelöljük, akkor a rekurziós formula így írható fel:
\(\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2}\Delta U_n.\)
Vagyis \(\displaystyle \Delta U_1=U\) figyelembe vételével ezt kapjuk:
\(\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2^n}U \rightarrow 0. \)
A leírtak szerint az elérhető legnagyobb potenciálkülönbség majdnem \(\displaystyle 4U\), amit a csaknem \(\displaystyle 2U\) feszültségre feltöltött kondenzátor, az \(\displaystyle U\) feszültségű másik kondenzátor és a telep soros kapcsolásával hozhatunk létre.
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek. 1 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai