A P. 5406. feladat (2022. április)

P. 5406. Maximálisan mekkora potenciálkülönbség hozható létre egy $\displaystyle U$ feszültségű telep és két egyforma kondenzátor segítségével? A kondenzátorok feltöltésük után szabadon átrendezhetők és újra beköthetők egy hálózatba.

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Mindkét $\displaystyle C$ kapacitású kondenzátort (külön-külön) feltölthetjük $\displaystyle U_1=U$ feszültségre, ekkor a lemezeikre $\displaystyle \pm CU_1$ töltés kerül. Ha most az egyik kondenzátort azonos polaritással sorba kapcsoljuk a teleppel, és velük párhuzamosan kapcsoljuk (ugyancsak azonos polaritással) a másik kondenzátort, akkor ez utóbbi valamekkora $\displaystyle U_2$ feszültségre töltődik, a másik kondenzátor feszültsége pedig $\displaystyle U_2-U$ lesz. A töltésmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle CU_1+CU_1=CU_2+C\left(U_2-U\right),$

ahonnan

$\displaystyle U_2=\frac{3}{2}U,$

a másik kondenzátor feszültsége pedig $\displaystyle \tfrac12U$ lesz.

Válasszuk le a kisebb töltésű kondenzátort az áramkörről, majd töltsük fel a telep segítségével $\displaystyle U$ feszültségre és kapcsoljuk vissza az áramkörbe. A másik kondenzátor feszültsége valamekkora $\displaystyle U_3$ értékre változik, amelyre ezt az egyenletet írhatjuk fel:

$\displaystyle CU_3+C(U_3-U)=CU_2+CU,$

ahonnan

$\displaystyle U_3=\frac12U_2+U=\frac74U$

adódik.

Ezeket a lépéseket sokszor egymás után megismételjük. Ha az $\displaystyle n$-edik lépésben a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége $\displaystyle U_n$, akkor a következőben

$\displaystyle U_{n+1}=\frac{U_n}{2}+U.$

Ebből a rekurziós formulából kiszámíthatjuk, hogy

$\displaystyle U_4=\frac{15}{8}U,\qquad U_5=\frac{31}{16}U, \qquad U_6=\frac{63}{32}U,\qquad \cdots.$

Ezek alapján sejthető, hogy a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége egyre közelebb kerül $\displaystyle 2U$-hoz, jóllehet azt sohasem éri el. Valóban, ha $\displaystyle U_n$ és $\displaystyle 2U$ eltérését $\displaystyle \Delta U_n$-nel jelöljük, akkor a rekurziós formula így írható fel:

$\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2}\Delta U_n.$

Vagyis $\displaystyle \Delta U_1=U$ figyelembe vételével ezt kapjuk:

$\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2^n}U \rightarrow 0.$

A leírtak szerint az elérhető legnagyobb potenciálkülönbség majdnem $\displaystyle 4U$, amit a csaknem $\displaystyle 2U$ feszültségre feltöltött kondenzátor, az $\displaystyle U$ feszültségű másik kondenzátor és a telep soros kapcsolásával hozhatunk létre.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai