 |
A P. 5410. feladat (2022. május) |
P. 5410. A vándorsólyom szárnycsapások nélkül is képes megtenni nagyobb távolságokat. Ilyenkor a mozgása két részből áll. Az első részben kiterjesztett szárnyakkal körözve emelkedik egy fölfelé áramló meleg levegőoszlopban (termikben) \(\displaystyle v_1\) függőleges sebességgel. A második részben a termiket elhagyva a vízszintessel \(\displaystyle \alpha\) szöget bezárva állandó sebességgel siklik a következő, \(\displaystyle L\) távolságra lévő termikig. A \(\displaystyle v_2\) siklási sebesség jó közelítéssel egyenesen arányos a siklás vízszintessel bezárt \(\displaystyle \alpha\) szögének szinuszával: \(\displaystyle v_2=k \sin\alpha\), ahol \(\displaystyle k\) egy ismert állandó.
\(\displaystyle a)\) Legalább milyen magasra kell a madárnak emelkednie a termikben, hogy egy emelkedésből és egy siklásból álló mozgás a legrövidebb ideig tartson?
\(\displaystyle b)\) Legalább mennyi időre van szüksége a vándorsólyomnak, hogy az egyik termik aljától eljuthasson a másik termik aljáig?
\(\displaystyle c)\) Határozzuk meg az optimális menetidejű mozgáshoz tartozó siklási szöget!
Adatok: \(\displaystyle v_1=2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), \(\displaystyle k=10~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), \(\displaystyle L=2\) km.
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a vándorsólyom a termikben \(\displaystyle H\) magasra emelkedik, ehhez \(\displaystyle t_1=\frac{H}{v_1}\) időre van szüksége. A következő termik aljáig \(\displaystyle \sqrt{H^2+L^2}\) hosszú úton siklik le, és mivel a sebessége
\(\displaystyle v_2=k\sin\alpha=k {\frac{H}{\sqrt{H^2+L^2}}},\)
a siklás ideje
\(\displaystyle t_2=\frac{\sqrt{H^2+L^2}}{v_2}=\frac{H^2+L^2}{kH}.\)
\(\displaystyle b)\) Az egyik termik aljától a másik termik aljáig a madár
\(\displaystyle T=t_2+t_2=\frac{H}{v_1}+\frac{H^2+L^2}{kH}=\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)H+\frac{L^2}{kH}\)
idő alatt jut el. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle T(H)\ge 2\sqrt{\frac{L^2}{k}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)}\approx 980\ {\rm s}\approx 16{,}3\ \text{perc}.\)
\(\displaystyle a)\) A legrövidebb idejű mozgásnál
\(\displaystyle \left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)H=\frac{L^2}{kH},\)
vagyis
\(\displaystyle H_\text{min}=\frac{L}{\sqrt{1+\frac{k}{v_1}}}=\frac{2000~\rm m}{\sqrt{6}}\approx 816~\rm m.\)
\(\displaystyle c)\) Az optimális menetidejű mozgás siklási szöge:
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{H_\text{min}}{L}=22{,}2^\circ.\)
Kiszámíthatjuk még, hogy a vándorsólyom a leírt mozgás során 6,8 percig emelkedik, a siklásának ideje 9,5 perc, a siklás sebessége pedig kb. 3,8 m/s.
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kristóf , Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András. 4 pontot kapott: Csonka Illés, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Tárnok Ede , Vágó Botond. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai