A P. 5410. feladat (2022. május)

P. 5410. A vándorsólyom szárnycsapások nélkül is képes megtenni nagyobb távolságokat. Ilyenkor a mozgása két részből áll. Az első részben kiterjesztett szárnyakkal körözve emelkedik egy fölfelé áramló meleg levegőoszlopban (termikben) $\displaystyle v_1$ függőleges sebességgel. A második részben a termiket elhagyva a vízszintessel $\displaystyle \alpha$ szöget bezárva állandó sebességgel siklik a következő, $\displaystyle L$ távolságra lévő termikig. A $\displaystyle v_2$ siklási sebesség jó közelítéssel egyenesen arányos a siklás vízszintessel bezárt $\displaystyle \alpha$ szögének szinuszával: $\displaystyle v_2=k \sin\alpha$, ahol $\displaystyle k$ egy ismert állandó.

$\displaystyle a)$ Legalább milyen magasra kell a madárnak emelkednie a termikben, hogy egy emelkedésből és egy siklásból álló mozgás a legrövidebb ideig tartson?

$\displaystyle b)$ Legalább mennyi időre van szüksége a vándorsólyomnak, hogy az egyik termik aljától eljuthasson a másik termik aljáig?

$\displaystyle c)$ Határozzuk meg az optimális menetidejű mozgáshoz tartozó siklási szöget!

Adatok: $\displaystyle v_1=2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, $\displaystyle k=10~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, $\displaystyle L=2$ km.

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a vándorsólyom a termikben $\displaystyle H$ magasra emelkedik, ehhez $\displaystyle t_1=\frac{H}{v_1}$ időre van szüksége. A következő termik aljáig $\displaystyle \sqrt{H^2+L^2}$ hosszú úton siklik le, és mivel a sebessége

$\displaystyle v_2=k\sin\alpha=k {\frac{H}{\sqrt{H^2+L^2}}},$

a siklás ideje

$\displaystyle t_2=\frac{\sqrt{H^2+L^2}}{v_2}=\frac{H^2+L^2}{kH}.$

$\displaystyle b)$ Az egyik termik aljától a másik termik aljáig a madár

$\displaystyle T=t_2+t_2=\frac{H}{v_1}+\frac{H^2+L^2}{kH}=\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)H+\frac{L^2}{kH}$

idő alatt jut el. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:

$\displaystyle T(H)\ge 2\sqrt{\frac{L^2}{k}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)}\approx 980\ {\rm s}\approx 16{,}3\ \text{perc}.$

$\displaystyle a)$ A legrövidebb idejű mozgásnál

$\displaystyle \left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{k}\right)H=\frac{L^2}{kH},$

vagyis

$\displaystyle H_\text{min}=\frac{L}{\sqrt{1+\frac{k}{v_1}}}=\frac{2000~\rm m}{\sqrt{6}}\approx 816~\rm m.$

$\displaystyle c)$ Az optimális menetidejű mozgás siklási szöge:

$\displaystyle \alpha=\arctg\frac{H_\text{min}}{L}=22{,}2^\circ.$

Kiszámíthatjuk még, hogy a vándorsólyom a leírt mozgás során 6,8 percig emelkedik, a siklásának ideje 9,5 perc, a siklás sebessége pedig kb. 3,8 m/s.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kristóf , Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Csonka Illés, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Tárnok Ede , Vágó Botond.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai