A P. 5414. feladat (2022. május)

P. 5414. Fémdrótból egy $\displaystyle R$ sugarú kört formáztunk, és ugyanebből a drótból az egyik átmérőt is elkészítettük. Mekkora legyen az $\displaystyle AB = AC$ ívek hossza, hogy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok között mérhető eredő ellenállás megegyezzen a $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontok között mérhető eredő ellenállással?

Közli: Gáspár Merse Előd, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle AB$ és az $\displaystyle AC$ ívek hossza $\displaystyle xR$, vagyis a kör sugarának $\displaystyle x$-szerese. Az egyes drótdarabok ellenállása a hosszukkal arányos. Válasszunk olyan mértékegységrendszert, amelyben az $\displaystyle AD$ átmérő menti drót ellenállása 2 egység, és ennek megfelelően az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ drótívek ellenállása $\displaystyle x$, a $\displaystyle BD$ és $\displaystyle CD$ ívek ellenállása pedig $\displaystyle \pi-x$ lesz, ahogy azt az ábra mutatja. (Az ábrán látható számok nem hosszúságokat, hanem a megfelelő drótdarab ellenállását jelölik.) Az $\displaystyle AB$ és a $\displaystyle BC$ pontok között mérhető ellenállások aránya nem függ az ellenállás önkényesen választott mértékegységétől, tehát ezek az új egységekkel számolva is egyenlő nagyságúak maradnak.

Ha a $\displaystyle B$ és a $\displaystyle C$ pont között mérünk ellenállást, a szimmetria miatt az $\displaystyle A$ és a $\displaystyle D$ pontok ekvipotenciálisak lesznek, és emiatt a közöttük lévő egyenes drótdarabot kiiktathatjuk. A mért ellenállás egy $\displaystyle 2x$ nagyságú és egy $\displaystyle 2(\pi-x)$ nagyságú, párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője lesz:

$\displaystyle R_{BC}=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2(\pi-x)}\right)^{-1}.$

Bonyolultabb a helyzet az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok közötti ellenállás kiszámításánál. Az $\displaystyle A$ és a $\displaystyle D$ pont közötti egyenes, illetve félkör alakú vezeték párhuzamos eredője:

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)^{-1}=\frac{2\pi}{2+\pi}.$

Ehhez csatlakozik sorosan kapcsolva a $\displaystyle BD$ ív $\displaystyle \pi-x$ nagyságú ellenállása, majd párhuzamosan az $\displaystyle AB$ ív $\displaystyle x$ nagyságú ellenállása. Így tehát

$\displaystyle R_{AB}= \left(\frac{1}{\pi-x+\frac{2\pi}{2+\pi}}+\frac{1}{x}\right)^{-1}.$

Az $\displaystyle R_{BC}=R_{AB}$ feltétel szerint fennáll az

$\displaystyle \frac{1}{2x}+\frac{1}{2(\pi-x)}=\frac{1}{\pi-x+\frac{2\pi}{2+\pi}}+\frac{1}{x}$

összefüggés, amiből algebrai átalakítások után a

$\displaystyle (6+\pi)x=\pi(4+\pi)$

lineáris egyenletet kapjuk. Ennek megoldása:

$\displaystyle x=\frac{4+\pi}{6+\pi}\pi \approx 2{,}45.$

Ezek szerint az $\displaystyle AB$ és az $\displaystyle AC$ ívek hossza

$\displaystyle \frac{\pi(4+\pi)}{6+\pi}R \approx 2{,}45\,R.$

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csonka Illés, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Kovács Kinga, Molnár Kristóf, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Téglás Panna, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia.
3 pontot kapott:	Bogdán Benedek, Dóra Márton, Hegedűs Máté Miklós, Szabó Márton, Tárnok Ede , Toronyi András.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai