 |
A P. 5415. feladat (2022. május) |
P. 5415. Egy elhanyagolható ellenállású, szigetelés nélküli huzalból, a vízszintes síkban elhelyezkedő, \(\displaystyle \alpha= 45^\circ\)-os szöget bezáró, V alakot hajlítunk. Ezt az elrendezést olyan mágneses mezőbe helyezzük, melynek \(\displaystyle \boldsymbol B\) indukcióvektora merőleges a vízszintes síkra, és nagysága a \(\displaystyle B(t) = B_0/t_0\cdot t\) összefüggés szerint változik az időben, ahol \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle t_0\) ismert állandók. A V alakú vezetőre szigetelés nélküli, kezdetben rögzített fémrudat helyezünk az ábrának megfelelő módon. A rúd egységnyi hosszúságú darabjának ellenállása \(\displaystyle r\).
\(\displaystyle a)\) Mennyi hő fejlődik a fémrúdban \(\displaystyle t_0\) idő alatt?
\(\displaystyle b)\) A bekapcsolástól (\(\displaystyle t = 0\) időpillanat) számított \(\displaystyle t_0\) időpillanatban a mágneses indukció változása megszűnik. Ebben a pillanatban az eddig rögzített fémrudat a vízszintes síkban, a fémrúdra merőlegesen \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgatni kezdjük. Mekkora legyen ez a sebesség, hogy a rúdban folyó áram erőssége ne változzon?
\(\displaystyle c)\) Hányszor több hő fejlődik a fémrúdban a mozgatás során, mint a rögzített helyzetben, ha a fémrudat \(\displaystyle 2t_0\) hosszú ideig mozgatjuk?
Közli: Kotek László, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A derékszögű háromszög területe \(\displaystyle L^2/2\), a rajta áthaladó mágneses fluxus
\(\displaystyle \Phi=\frac{L^2}{2}\cdot B(t)=\frac{L^2}{2}\cdot\frac{B_0}{t_0}t,\)
a fluxus változásnak sebessége, vagyis a nyugalmi indukció folytán indukálódó feszültség:
\(\displaystyle U=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{B_0L^2}{2t_0}.\)
Az \(\displaystyle L\) hosszúságú vezető ellenállása \(\displaystyle Lr\), így az áramerősség
\(\displaystyle I=\frac{U}{R}=\frac{B_0L}{2t_0r},\)
vagyis a \(\displaystyle t_0\) idő alatt fejlődő hő
\(\displaystyle Q_1=UIt_0 ={I^2}Rt_0=\frac{B_0^2L^3}{4t_0r}.\)
\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle B_0\) erősségű mágneses térben mozgó vezetőben a mozgási indukció folytán feszültség indukálódik. A vezetőnek a V alakú huzal közötti része \(\displaystyle t\) idővel a mozgás kezdete után \(\displaystyle L+v_0t\), így az indukált feszültség
\(\displaystyle U(t)=B_0(L+v_0t)v_0,\)
az áramerősség pedig
\(\displaystyle I(t)=\frac{U(t)}{R(t)}=\frac{B_0(L+v_0t)v_0}{(L+v_0t)r}=\frac{B_0v_0}{r}.\)
(Látható, hogy az áramerősség időben nem változik.)
A még mozdulatlan és a már mozgó fémrúdban az áramerősség ugyanakkora:
\(\displaystyle \frac{B_0L}{2t_0r}=\frac{B_0v_0}{r}, \qquad \text{vagyis}\qquad v_0=\frac{L}{2t_0}.\)
\(\displaystyle c)\) A fémrúd áramot vezető részének hossza az induláskor \(\displaystyle L\), \(\displaystyle 2t_0\) idővel később \(\displaystyle L+2v_0t_0=2L\). Így a vezető ellenállása időben egyenletesen \(\displaystyle Lr\)-ről \(\displaystyle 2Lr\)-re növekszik, a hőfejlődés teljesítménye pedig \(\displaystyle P_1=I^2R_1\)-ről \(\displaystyle P_2=I^2R_2=2P_1\) nagyságúra változik. Mivel a változás egyenletes, számolhatunk az átlagteljesítménnyel, és így a \(\displaystyle 2t_0\) idő alatt fejlődő hő összesen
\(\displaystyle Q_2=2t_0\frac{P_1+P_2}{2}=\frac{3B_0^2L^3}{4t_0r}=3Q_1. \)
A mozgatás során tehát 3-szor több hő fejlődik a fémrúdban, mint a rögzített helyzetben.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Molnár Kristóf, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Veszprémi Rebeka Barbara. 4 pontot kapott: Hegedűs Máté Miklós, Nemeskéri Dániel. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai