A P. 5416. feladat (2022. május)

P. 5416. Egy 1,1 nm hosszúságú, hozzá képest elhanyagolható szélességű és vastagságú térrészben öt elektron van. Ebben a térrészben a potenciális energia nulla, ezen kívül nagyon nagy. (Az elektronok egymással való kölcsönhatásától eltekinthetünk.)

$\displaystyle a)$ Mekkora a rendszer elektronjainak gerjesztéséhez szükséges minimális energia?

$\displaystyle b)$ Mekkora hullámhosszúságú elektromágneses hullám képes ezt a gerjesztést létrehozni? Hol a helye ennek az elektromágneses hullámnak a spektrumban?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle L=1{,}1~\rm nm$ hosszúságú egyenes mentén mozgó elektronok anyaghullámai olyan állóhullámok, amelyeknek az egyenes szakasz végpontjainál csomópontja van. Ennek megfelelően a hullámok hullámhossza

$\displaystyle (k+1) \frac{\lambda_k}{2}=L,\qquad \text{vagyis}\qquad \lambda_k=\frac{2L}{k+1}\qquad (k=0,1,2,\ldots),$

ahol $\displaystyle k$ az anyaghullám csomópontjainak száma. A de Broglie-összefüggés szerint az ilyen elektronok impulzusa

$\displaystyle p_k=\frac{h}{\lambda_{k}}=\frac{h}{2L}(k+1),$

a lehetséges (kvantált) energiája pedig

$\displaystyle E_k=\frac{p_k^2}{2m}=\frac{h^2}{8mL^2}\,(k+1)^2.$

($\displaystyle m$ az elektron tömege, $\displaystyle h$ pedig a Planck-állandó.) Az ismert adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy a legalacsonyabb energiaszint:

$\displaystyle E_0=5{,}0\cdot 10^{-20}~{\rm J}\approx 0{,}05~{\rm aJ},$

a gerjesztett állapotok energiája pedig

$\displaystyle E_1=4E_0=0{,}20~{\rm aJ}, \qquad E_2=9E_0=0{,}45~{\rm aJ},~\ldots$

A Pauli-elv szerint minden energiaszinten legfeljebb 2 elektron tartózkodhat. Ennek megfelelően az 5 elektron közül 2 alapállapotban, 2 első gerjesztett állapotban, 1 elektron pedig a második gerjesztett állapotban van.

$\displaystyle a)$ A legkisebb energia, amivel gerjeszteni lehet ezt a rendszert $\displaystyle \Delta E=5E_0=0{,}25~\rm aJ$, hiszen az egyik $\displaystyle E_1=4E_0$ energiájú elektron átkerülhet az $\displaystyle E_2=9E_0$ energiaszintre.

$\displaystyle b)$ A $\displaystyle \Delta E$ energiájú gerjesztést egy

$\displaystyle f=\frac{\Delta E}{h}= 3{,}75\cdot10^{14}~\rm Hz$

frekvenciájú foton képes létrehozni. Ennek a fotonnak a hullámhossza

$\displaystyle \lambda_{\rm foton}=\frac{c}{f}=0{,}8\cdot 10^{-6}~{\rm m}=800~ \rm nm,$

ami a közeli infravörös tartományba esik.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Kertész Balázs, Papp Marcell Imre, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	Dóra Márton, Hauber Henrik, Nemeskéri Dániel, Toronyi András.

A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai