Problem P. 5418. (September 2022)
P. 5418. Two balls, kicked at different angles but with the same initial speed, land at the same distance. The ball with the higher trajectory flew twice as long as the other. What is the relationship between the peak heights of the two trajectories? At what angles were the balls kicked?
(4 pont)
Deadline expired on October 17, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A labdák vízszintesen egyenletes mozgást végeznek, függőlegesen pedig \(\displaystyle g\) gyorsulással mozognak, így a \(\displaystyle h\) csúcsmagasság és a mozgás \(\displaystyle T\) ideje közötti kapcsolat:
\(\displaystyle h=\frac{g}{2}\left(\frac{T}{2}\right)^2.\)
Innen látszik, hogy a kétszer hosszabb időtartamú mozgás pályájának csúcsmagassága 4-szer nagyobb.
Jelöljük az elrúgások indulási szögét (a vízszintestől mérve) \(\displaystyle \alpha\)-val és \(\displaystyle \beta\)-val (\(\displaystyle \alpha>\beta\)), a labda kezdősebességét pedig \(\displaystyle v\)-vel. A meredekebben elrúgott labda \(\displaystyle 2T\) ideig, a laposabban elrúgott pedig \(\displaystyle T\) ideig mozog. A labdák sebességének függőleges komponense a mozgás végére egyenletesen, \(\displaystyle g\) gyorsulással az ellentettjére változik, így
\(\displaystyle \frac{v\sin\alpha-(-v\sin\alpha)}{2T}=g, \qquad \text{illetve}\qquad \frac{v\sin\beta-(-v\sin\beta)}{T}=g.\)
Innen következik, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \sin\alpha=2\sin\beta.\) |
A labdák vízszintes irányban egyenletesen mozognak és ugyanolyan messzire repülnek:
\(\displaystyle (2T)v\cos\alpha=vT\cos\beta,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2\cos\alpha=\cos\beta.\) |
Az (1) és (2) egyenlet szorzatából
\(\displaystyle \sin(2\alpha)=\sin(2\beta).\)
Ennek \(\displaystyle \alpha>\beta\) feltétel melletti megoldása:
\(\displaystyle 2\beta=180^\circ-2\alpha,\qquad \text{vagyis}\qquad \alpha+\beta=90^\circ.\)
Ezt (1)-be visszahelyettesítve
\(\displaystyle \tg \alpha=2,\qquad \alpha=63{,}4^\circ,\qquad \beta=26{,}6^\circ\)
eredmény adódik.
Statistics:
100 students sent a solution. 4 points: 62 students. 3 points: 5 students. 2 points: 12 students. 1 point: 10 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, September 2022