Problem P. 5420. (September 2022)

P. 5420. \(\displaystyle a)\) At what angle of \(\displaystyle \alpha\) is the system in the figure in equilibrium if there is no friction on the slope?

\(\displaystyle b)\) For what angles of \(\displaystyle \alpha\) are the objects in equilibrium if the coefficient of friction on the slope is \(\displaystyle \mu = 0.2\)?

\(\displaystyle c)\) What is the acceleration and the direction of motion of the objects if \(\displaystyle \alpha=35^\circ\) and the coefficient of friction is \(\displaystyle \mu= 0.15\)? What is the ratio of the two tensions in this case?

(5 pont)

Deadline expired on October 17, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egyensúly esetén a kötelekben \(\displaystyle mg\), illetve \(\displaystyle 2mg\) erő hat, a lejtőn fekvő testre pedig lejtőirányban lefelé \(\displaystyle 3mg\,\sin\alpha \). A rendszer akkor van egyensúlyban, ha

\(\displaystyle mg+3mg\sin \alpha = 2mg,\)

vagyis \(\displaystyle \sin\alpha=\frac13\), tehát \(\displaystyle \alpha\approx 19{,}5^\circ\).

\(\displaystyle b)\) Az imént kapottnál nagyobb szög esetén (tehát ha \(\displaystyle \sin\alpha>\frac13\)) a lejtőn lévő test balra fog lecsúszni, vagy nyugalomban marad. Ha pedig \(\displaystyle \sin\alpha<\frac13\), akkor jobbra fog mozogni a \(\displaystyle 3m\) tömegű test, vagy nyugalomban marad. A nyugalom feltétele az, hogy a testet mozgatni akaró erő abszolút értéke kisebb legyen, mint a súrlódási erő maximális értéke, ami \(\displaystyle 3mg\mu\cos\alpha\):

\(\displaystyle \vert mg(3\sin\alpha- 1 )\vert< 3\cdot 0{,}2\,mg\cos\alpha.\)

Négyzetre emelés és rendezés után \(\displaystyle \sin\alpha\)-re egy másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:

\(\displaystyle 9{,}36\sin^2\alpha - 6\sin\alpha +0{,}64 < 0,\)

aminek megoldása:

\(\displaystyle 0{,}135 < \sin\alpha < 0{,}506, \qquad \text{azaz}\qquad 7{,}8^\circ<\alpha<30{,}4^\circ.\)

\(\displaystyle c)\) Ekkora szögnél és ekkora súrlódás esetén a \(\displaystyle 3m\) tömegű test biztosan balra fog mozogni, hiszen – mint a \(\displaystyle b)\) kérdésre adott válasznál láttuk – még nagyobb (\(\displaystyle \mu=0{,}2\)-es) súrlódási együttható esetén is \(\displaystyle 30{,}4^\circ\)-nál meredekebb lejtőn nem maradhat egyensúlyban a rendszer.

Jelöljük a bal oldali kötelet feszítő erőt \(\displaystyle K_1\)-gyel, a másik kötélben ébredő erőt pedig \(\displaystyle K_2\)-vel. A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle mg-K_1 = ma,\)

\(\displaystyle K_2-2mg = 2ma,\)

\(\displaystyle K_1+3mg(\sin\alpha -\mu \cos\alpha )-K_2 = 3ma.\)

A három egyenlet összegéből kapjuk, hogy

\(\displaystyle a=\left(\frac12\sin 35^\circ - \frac12\,0{,}15\cos 35^\circ -\frac{1}{6}\right)g=0{,}059\,g= 0{,}58~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

A köteleket feszítő erők az \(\displaystyle m\) és a \(\displaystyle 2m\) tömegű test mozgásegyenlete szerint:

\(\displaystyle K_1=m(g-a)=0{,}94\,mg \qquad \text{és}\qquad K_2=2m(g+a)=2{,}12\,mg, \)

az arányuk pedig

\(\displaystyle \frac{K_2}{K_1}\approx 2{,}25.\)

Statistics:

96 students sent a solution.
5 points:	Fórizs Borbála, Kismárton Gábor, Seprődi Barnabás Bendegúz, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor.
4 points:	Arnold Lőrinc, Baranyi Bartal, Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek, Benes András, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csernyik Péter, Csiszár András, Csonka Illés, Elekes Dorottya, Fitos Gergő, Görcsös Ákos Attila, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Klement Tamás, Kondor Botond Dávid, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Petró Péter, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Szabó Márton, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára.
3 points:	21 students.
2 points:	17 students.
1 point:	7 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, September 2022