Problem P. 5421. (September 2022)

P. 5421. At the bottom of the sea, 150 m below the surface, lies a sunken, mainly steel ship, which once had a 1000 tons displacement. Divers would like to bring this ship the surface. To do this, the divers create arched sections in the ship, into which the atmospheric air from the surface is pumped through long tubes by means of compressors. At least how much work do the compressors have to do in order to raise the ship off the seabed? We can assume that both the sea and the air has a temperature of \(\displaystyle 15\;{}^\circ\)C.

(5 pont)

Deadline expired on October 17, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hajót 1000 tonnánál, vagyis 1000 m\(\displaystyle ^3\)-nél több kiszorított víz súlyának megfelelő felhajtóerő képes a tengerfenékről elmozdítani. 150 m mélyen a víz hidrosztatikai nyomása 15 bar, tehát a \(\displaystyle p_0=1\) bar külső légnyomással együtt az ottani nyomás 16 \(\displaystyle {\rm bar}=1{,}6\cdot10^6~\rm Pa\).

A kompresszornak \(\displaystyle V_0=16\,000~\rm m^3\) \(\displaystyle p_0\) nyomású levegőt kell összenyomnia \(\displaystyle 16\,p_0\) nyomásúra, hogy az a hajóból \(\displaystyle V_1=\frac{1}{16}V_0\) térfogatú vizet szorítson ki (állandó hőmérsékletet feltételezve). Az izotermikus összenyomás során a gázon végzett munka (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok képletgyüjteményét)

\(\displaystyle W=p_0V_0 \ln\frac{V_0}{V_1}.\)

Ebből a munkából azonban a légköri nyomás \(\displaystyle p_0\left(V_0-V_1\right)\) értékkel ,,besegít'', így a szivattyú munkája csak

\(\displaystyle p_0V_0\left(\ln\frac{V_0}{V_1}-\left[1-\frac{V_1}{V_0}\right]\right)= 1{,}6\cdot10^9\left(\ln{16}-\frac{15}{16}\right)~{\rm J}=2{,}94\cdot10^9~\rm J\approx 820~\rm kWh.\)

Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Bocor Gergely, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Flóring Balázs, Hajós Balázs, Hüvös Gergely, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Köpenczei Csanád, Nagy 333 Zalán, Péntek Domonkos, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Tomesz László Gergő, Vágó Botond.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, September 2022