A P. 5421. feladat (2022. szeptember)

P. 5421. A tengerfenéken, 150 m mélységben fekszik egy elsüllyedt, főleg acélból készült, egykoron 1000 tonna vízkiszorítású hajó, amelyet szeretnének a felszínre hozni. Ennek érdekében a búvárok boltíves részeket alakítanak ki a hajóban, amelyek alá hosszú csöveken keresztül a felszínről légköri levegőt juttatnak kompresszorok segítségével. Legalább mekkora munkát kell végezniük a kompresszoroknak, hogy a hajó megemelkedjen a tengerfenékről! Feltételezhetjük, hogy a tenger és a levegő is $\displaystyle 15\;{}^\circ$C hőmérsékletű.

Közli: Tófalusi Péter, Debrecen

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A hajót 1000 tonnánál, vagyis 1000 m$\displaystyle ^3$-nél több kiszorított víz súlyának megfelelő felhajtóerő képes a tengerfenékről elmozdítani. 150 m mélyen a víz hidrosztatikai nyomása 15 bar, tehát a $\displaystyle p_0=1$ bar külső légnyomással együtt az ottani nyomás 16 $\displaystyle {\rm bar}=1{,}6\cdot10^6~\rm Pa$.

A kompresszornak $\displaystyle V_0=16\,000~\rm m^3$ $\displaystyle p_0$ nyomású levegőt kell összenyomnia $\displaystyle 16\,p_0$ nyomásúra, hogy az a hajóból $\displaystyle V_1=\frac{1}{16}V_0$ térfogatú vizet szorítson ki (állandó hőmérsékletet feltételezve). Az izotermikus összenyomás során a gázon végzett munka (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok képletgyüjteményét)

$\displaystyle W=p_0V_0 \ln\frac{V_0}{V_1}.$

Ebből a munkából azonban a légköri nyomás $\displaystyle p_0\left(V_0-V_1\right)$ értékkel ,,besegít'', így a szivattyú munkája csak

$\displaystyle p_0V_0\left(\ln\frac{V_0}{V_1}-\left[1-\frac{V_1}{V_0}\right]\right)= 1{,}6\cdot10^9\left(\ln{16}-\frac{15}{16}\right)~{\rm J}=2{,}94\cdot10^9~\rm J\approx 820~\rm kWh.$

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Bálint, Bocor Gergely, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Flóring Balázs, Hajós Balázs, Hüvös Gergely, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Köpenczei Csanád, Nagy 333 Zalán, Péntek Domonkos, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Tomesz László Gergő, Vágó Botond.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai