Problem P. 5426. (September 2022)
P. 5426. A photon rocket is an imaginary rocket whose engine converts fuel into photons, which are then ejected into one direction parallel to each other. During a long-duration space mission, the rocket, starting from rest and moving in a straight path, accelerates to some speed, then with its engine running in the opposite direction, it brakes to a stop at the end of its journey. During this time, the mass of the rocket is reduced to one-quarter of its original value. What was the maximum speed of the rocket?
(6 pont)
Deadline expired on October 17, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Írjuk le a történteket abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a rakéta kezdetben (és a megérkezésekor is) áll.
Legyen a rakéta tömege az induláskor \(\displaystyle 4M\), a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle M^*\), a megérkezéskor pedig \(\displaystyle M\). Mivel a fékezés során a sebességváltozás ugyanakkora, mint a gyorsítás alatti sebességváltozás, a tömeg relatív csökkenése is ugyanakkora kell hogy legyen:
\(\displaystyle \frac{4M}{M^*}=\frac{M^*}{M}, \qquad \text{vagyis}\qquad M^*=2M.\)
A rakéta impulzusának megváltozása (ami megegyezik a fotonok által elvitt impulzus \(\displaystyle (-1)\)-szeresével) ugyanakkora nagyságú a gyorsítási szakaszban, mint a lassításkor. Ezek szerint a fotonok által elvitt energia is megegyezik a két szakaszban (hiszen a foton energiája arányos az impulzusával), így a rakéta energiaváltozása is ugyanakkora a gyorsítási szakaszban, mint a fékezésnél. Ha a kérdéses időpontban a rakéta energiája \(\displaystyle E^*\), akkor
\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=2{,}5\, Mc^2,\)
ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.
Az energia, a nyugalmi tömeg és a sebesség közötti összefüggés szerint
\(\displaystyle E^*=\frac{M^*c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\)
azaz
\(\displaystyle 2{,}5 Mc^2=\frac{2M c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\)
Innen kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{3}{5}, \qquad v=0{,}6\,c=180\,000~\frac{\rm km}{\rm s}.\)
II. megoldás. Legyen a rakéta energiája a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle E^*\), az impulzusa pedig \(\displaystyle p^*\). (Ezek a mennyiségek abban a koordináta-rendszerben értendők, amelyből nézve a rakéta kezdetben állt.)
Alkalmazzuk az energia- és az impulzusmegmaradás (relativisztikus) törvényeit. A fotonok által elvitt impulzus nagysága mindkét szakaszban \(\displaystyle p^*\), az elvitt energia pedig \(\displaystyle p^*c\). A megmaradási törvények szerint
\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=\frac52\, Mc^2,\)
továbbá
\(\displaystyle 4Mc^2-\frac52\, Mc^2= p^*c,\qquad \text{tehát}\qquad p^*=\frac32 Mc.\)
Az energia, az impulzus és a sebesség közötti relativisztikus kapcsolat:
\(\displaystyle p^*=\frac{E^*}{c^2}v, \qquad \text{ahonnan}\qquad v=\frac{p^*c^2}{E^*}=\frac{\frac{3}{2}Mc}{\frac{5}{2}M}=\frac{3}{5}c.\)
Statistics:
22 students sent a solution. 6 points: Bencz Benedek, Kollmann Áron Alfréd, Lincoln Liu, Nemeskéri Dániel. 5 points: Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka. 4 points: 2 students. 3 points: 3 students. 2 points: 2 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, September 2022