Problem P. 5427. (October 2022)
P. 5427. The voltage rating of each of the identical tungsten filament incandescent lamp of the circuit shown in the figure is 230 V. Their current-voltage characteristics are shown in the graph below. The voltage supply in the circuit is 230 V.
100 W-os villanykörte áram–feszültség karakterisztikája
\(\displaystyle a)\) What is the resistance of an incandescent lamp at its rated voltage?
\(\displaystyle b)\) What is the resistance of the filaments of lamps A and B in the open position of the switch?
\(\displaystyle c)\) What is the resistance of the filaments after the switch is closed?
\(\displaystyle d)\) How much power is dissipated by each incandescent lamp in the above cases?
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A grafikonról leolvashatjuk, hogy 230 V feszültségnél az áramerősség 0,42 A, az izzó ellenállása tehát
\(\displaystyle R=\frac{230~\rm V}{0{,}42~\rm A}=548~\Omega.\)
\(\displaystyle b)\) Nyitott kapcsolóállásnál az A és a B izzó feszültsége azonos, mivel azonos erősségű áram folyik rajtuk keresztül, így
\(\displaystyle U_{\rm A}^{\rm (ny)}=U_{\rm B}^{\rm (ny )}=115~V.\)
Az áramerősség tehát (lásd a grafikont)
\(\displaystyle I_{\rm A}^{\rm (ny)}=B_{\rm B}^{\rm (ny )}=0{,}285~\rm A,\)
így az ellenállásuk:
\(\displaystyle R_{\rm A}^{\rm (ny)}=R_{\rm B}^{\rm (ny)}=\frac{115~\rm V}{0{,}285~\rm A}\approx 404~\Omega.\)
\(\displaystyle c)\) Ha zárt kapcsolóállásnál a B, illetve a C izzón \(\displaystyle I\), az A izzón pedig \(\displaystyle 2I\) erősségű áram folyik, akkor a grafikusan megadott \(\displaystyle U(I)\) karakterisztika szerint fennáll:
\(\displaystyle U(I)+U(2I)=230~\rm V.\)
Ezt az egyenletet próbálgatással, különböző \(\displaystyle I\) értékek behelyettesítésével oldhatjuk meg. Azt kapjuk, hogy \(\displaystyle I\approx 0{,}37~\rm A\), vagyis
\(\displaystyle I_{\rm A}^{\rm (z)} =2I=0{,}185~{\rm A}, \qquad I_{\rm B}^{\text(z)}=I_{\rm C}^{\rm (z)}=I=0{,}185~{\rm A},\)
és az izzókra jutó feszültség:
\(\displaystyle U_{\rm A}^{\rm (z)}=U(2I)\approx 183~{\rm V}, \qquad U_{\rm B}^{\rm (z)}=U_{\rm C}{\rm (z)}=U(I)\approx 47~\rm V.\)
Természetesen teljesül, hogy \(\displaystyle U_{\rm A}^{\rm (z)}+U_{\rm B}^{\rm (z)}=230~\rm V.\)
\(\displaystyle d)\) Az izzók teljesítménye a megfelelő feszültség és áramerősség szorzata.
– Egyetlen, 230V-ra kapcsolt villanykörte teljesítménye:
\(\displaystyle P=(230~{\rm V})\cdot (0{,}42~{\rm A})\approx 97~\rm W,\)
ami egy kicsit kisebb a megadott ,,névleges'' teljesítménynél.
– Hasonlóan kapjuk, hogy nyitott kapcsolóállásnál
\(\displaystyle P_{\rm A}^{\rm (ny)}=P_{\rm B}^{\rm (ny)}\approx 33~\rm W.\)
– Ha zárjuk a kapcsolót, az izzók teljesítménye:
\(\displaystyle P_{\rm A}^\text{(z)}=U_{\rm A}^{\rm (z)}\cdot I_{\rm A}^{\rm (z)}\approx 67~{\rm W}, \qquad P_{\rm B}^{\rm (z)}=P_{\rm C}^{\rm (z)}==U_{\rm B}^{\rm (z)}\cdot I_{\rm BA}^{\rm (z)}\approx9~\rm W.\)
Látható, hogy a kapcsoló zárásával az A izzó fényesebben világít, B teljesítménye pedig olyan erősen lecsökken, hogy gyakorlatilag nem is fog világítani. Ezek a változások ugyanolyan jellegűek, de lényegesen nagyobb mértékűek, mint a hőfokfüggetlen ellenállású fogyasztóknál (lásd a G. 792. gyakorlat megoldását). Az izzók feszültség-áram karakterisztikájának nemlinearitását az ellenállás hőfokfüggése okozza.
Statistics:
44 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Csiszár András, Dancsák Dénes, Dér Levente, Flóring Balázs, Halász Sámuel, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Lévai Dominik Márk, Márfai Dóra, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Novák Péter, Osváth Emese, Schmercz Blanka, Sipeki Árpád, Szabó Imre Bence, Tomesz László Gergő, Tóth Kolos Barnabás, Vincze Farkas Csongor. 4 points: Chrobák Gergő, Dercsényi Bence, Harkai Barnabás, Nagy 333 Zalán, Sándor Dominik, Szatmári András Gábor, Tárnok Ede , Vágó Botond, Varga 451 Erik, Vásárhelyi István Péter. 3 points: 3 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, October 2022