Problem P. 5429. (October 2022)

P. 5429. An electric car accelerates uniformly from rest and reaches a speed of 108 km/h in 10 s. The radius of its wheels is 0.4 m, on the wheel there is a decorating ring of radius 0.2 m. How much time elapses from the start of the car until this narrow decorating ring will have a point which does not accelerate? What is the speed of the car at this moment?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az autó állandó gyorsulása

\(\displaystyle a_0=\frac{108~\rm km/h}{10~\rm s}=\frac{30~\rm m/s}{10~\rm s}=3~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Az autó sebessége időben \(\displaystyle v(t)=a_0t\) módon növekszik, az \(\displaystyle R=0{,}4~\rm m\) sugarú kerekek szögsebessége tehát időben így változik:

\(\displaystyle \omega(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{a_0t}{R},\)

a szöggyorsulása pedig időben állandó, nagysága

\(\displaystyle \beta=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{a_0}{R}.\)

A díszítőgyűrű valamely \(\displaystyle P\) pontjának gyorsulása három gyorsulásvektor összegeként kapható meg. Ezek (lásd az ábrát):

(\(\displaystyle i\)) Az egész autó haladó (transzlációs) mozgásának megfelelő, vízszintes irányú, \(\displaystyle a_0\) nagyságú vektor.

\(\displaystyle (ii)\) A \(\displaystyle P\) pontnak a kerék \(\displaystyle O\) tengelye körüli forgásból származó ,,kerületi gyorsulás'' vektor, amelynek nagysága (mivel az \(\displaystyle OP\) távolság a feladat szövege szerint \(\displaystyle R/2\)):

\(\displaystyle a_1=\frac{R}2 \beta=\frac12 a_0.\)

Ez a gyorsulás ,,érintő irányú'', vagyis az \(\displaystyle OP\) egyenesre merőleges, és a kerék forgásának megfelelő (előre) irányba mutat.

\(\displaystyle (iii)\) A kerék \(\displaystyle P\) pontjának centripetális gyorsulása, amely \(\displaystyle P\)-től \(\displaystyle O\) felé mutató vektor, nagysága:

\(\displaystyle a_2=\frac{R}2\omega(t)^2=\frac{a_0^2t^2}{2R}.\)

Könnyen belátható, hogy a felsorolt három gyorsulásvektor összege csak akkor lehet nulla, ha a \(\displaystyle P\) pont a (mondjuk) jobbra haladó autó diszgyűrűjének jobb alsó negyedében található, vagyis az ábrán jelölt \(\displaystyle \varphi\) szög \(\displaystyle 90^\circ\)-nál kisebb.

A \(\displaystyle PQT\) derékszögű háromszög átfogója kétszer hosszabb, mint a \(\displaystyle P\)-beli érintővel párhuzamos befogó. Innen következik, hogy \(\displaystyle \varphi=30^\circ\), továbbá

\(\displaystyle a_2=\frac{\sqrt3}2a_0,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{2R}=\frac{\sqrt3}2a_0,\)

ahonnan a kérdéses idő:

\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{\sqrt3R}{a_0}}\approx 0{,}48~\rm s.\)

Az autó sebessége ekkor

\(\displaystyle v=a_0t=1{,}44~\frac {\rm m}{\rm s}.\)

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Fehérvári Donát, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kollmann Áron Alfréd, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Sipeki Árpád, Szatmári András Gábor, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára.
4 points:	Arnold Lőrinc, Benes András, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Görcsös Ákos Attila, Hetényi Klára Tímea, Osváth Emese, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Tárnok Ede .
3 points:	2 students.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2022