A P. 5429. feladat (2022. október)

P. 5429. Egy elektromos autó álló helyzetből indulva 10 s alatt egyenletes gyorsulással 108 km/h sebességet ér el. Kerekeinek sugara 0,4 m, a keréktárcsán található egy 0,2 m sugarú díszítőgyűrű. Az indulástól számítva mennyi idő múlva lesz ennek a vékony gyűrűnek olyan pontja, amely nem gyorsul? Mekkora ebben a pillanatban az autó sebessége?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az autó állandó gyorsulása

$\displaystyle a_0=\frac{108~\rm km/h}{10~\rm s}=\frac{30~\rm m/s}{10~\rm s}=3~\frac{\rm m}{\rm s^2}.$

Az autó sebessége időben $\displaystyle v(t)=a_0t$ módon növekszik, az $\displaystyle R=0{,}4~\rm m$ sugarú kerekek szögsebessége tehát időben így változik:

$\displaystyle \omega(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{a_0t}{R},$

a szöggyorsulása pedig időben állandó, nagysága

$\displaystyle \beta=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{a_0}{R}.$

A díszítőgyűrű valamely $\displaystyle P$ pontjának gyorsulása három gyorsulásvektor összegeként kapható meg. Ezek (lásd az ábrát):

($\displaystyle i$) Az egész autó haladó (transzlációs) mozgásának megfelelő, vízszintes irányú, $\displaystyle a_0$ nagyságú vektor.

$\displaystyle (ii)$ A $\displaystyle P$ pontnak a kerék $\displaystyle O$ tengelye körüli forgásból származó ,,kerületi gyorsulás'' vektor, amelynek nagysága (mivel az $\displaystyle OP$ távolság a feladat szövege szerint $\displaystyle R/2$):

$\displaystyle a_1=\frac{R}2 \beta=\frac12 a_0.$

Ez a gyorsulás ,,érintő irányú'', vagyis az $\displaystyle OP$ egyenesre merőleges, és a kerék forgásának megfelelő (előre) irányba mutat.

$\displaystyle (iii)$ A kerék $\displaystyle P$ pontjának centripetális gyorsulása, amely $\displaystyle P$-től $\displaystyle O$ felé mutató vektor, nagysága:

$\displaystyle a_2=\frac{R}2\omega(t)^2=\frac{a_0^2t^2}{2R}.$

Könnyen belátható, hogy a felsorolt három gyorsulásvektor összege csak akkor lehet nulla, ha a $\displaystyle P$ pont a (mondjuk) jobbra haladó autó diszgyűrűjének jobb alsó negyedében található, vagyis az ábrán jelölt $\displaystyle \varphi$ szög $\displaystyle 90^\circ$-nál kisebb.

A $\displaystyle PQT$ derékszögű háromszög átfogója kétszer hosszabb, mint a $\displaystyle P$-beli érintővel párhuzamos befogó. Innen következik, hogy $\displaystyle \varphi=30^\circ$, továbbá

$\displaystyle a_2=\frac{\sqrt3}2a_0,$

vagyis

$\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{2R}=\frac{\sqrt3}2a_0,$

ahonnan a kérdéses idő:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{\sqrt3R}{a_0}}\approx 0{,}48~\rm s.$

Az autó sebessége ekkor

$\displaystyle v=a_0t=1{,}44~\frac {\rm m}{\rm s}.$

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Fehérvári Donát, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kollmann Áron Alfréd, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Sipeki Árpád, Szatmári András Gábor, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	Arnold Lőrinc, Benes András, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Görcsös Ákos Attila, Hetényi Klára Tímea, Osváth Emese, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Tárnok Ede .
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai