A P. 5429. feladat (2022. október) |
P. 5429. Egy elektromos autó álló helyzetből indulva 10 s alatt egyenletes gyorsulással 108 km/h sebességet ér el. Kerekeinek sugara 0,4 m, a keréktárcsán található egy 0,2 m sugarú díszítőgyűrű. Az indulástól számítva mennyi idő múlva lesz ennek a vékony gyűrűnek olyan pontja, amely nem gyorsul? Mekkora ebben a pillanatban az autó sebessége?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az autó állandó gyorsulása
\(\displaystyle a_0=\frac{108~\rm km/h}{10~\rm s}=\frac{30~\rm m/s}{10~\rm s}=3~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
Az autó sebessége időben \(\displaystyle v(t)=a_0t\) módon növekszik, az \(\displaystyle R=0{,}4~\rm m\) sugarú kerekek szögsebessége tehát időben így változik:
\(\displaystyle \omega(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{a_0t}{R},\)
a szöggyorsulása pedig időben állandó, nagysága
\(\displaystyle \beta=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{a_0}{R}.\)
A díszítőgyűrű valamely \(\displaystyle P\) pontjának gyorsulása három gyorsulásvektor összegeként kapható meg. Ezek (lásd az ábrát):
(\(\displaystyle i\)) Az egész autó haladó (transzlációs) mozgásának megfelelő, vízszintes irányú, \(\displaystyle a_0\) nagyságú vektor.
\(\displaystyle (ii)\) A \(\displaystyle P\) pontnak a kerék \(\displaystyle O\) tengelye körüli forgásból származó ,,kerületi gyorsulás'' vektor, amelynek nagysága (mivel az \(\displaystyle OP\) távolság a feladat szövege szerint \(\displaystyle R/2\)):
\(\displaystyle a_1=\frac{R}2 \beta=\frac12 a_0.\)
Ez a gyorsulás ,,érintő irányú'', vagyis az \(\displaystyle OP\) egyenesre merőleges, és a kerék forgásának megfelelő (előre) irányba mutat.
\(\displaystyle (iii)\) A kerék \(\displaystyle P\) pontjának centripetális gyorsulása, amely \(\displaystyle P\)-től \(\displaystyle O\) felé mutató vektor, nagysága:
\(\displaystyle a_2=\frac{R}2\omega(t)^2=\frac{a_0^2t^2}{2R}.\)
Könnyen belátható, hogy a felsorolt három gyorsulásvektor összege csak akkor lehet nulla, ha a \(\displaystyle P\) pont a (mondjuk) jobbra haladó autó diszgyűrűjének jobb alsó negyedében található, vagyis az ábrán jelölt \(\displaystyle \varphi\) szög \(\displaystyle 90^\circ\)-nál kisebb.
A \(\displaystyle PQT\) derékszögű háromszög átfogója kétszer hosszabb, mint a \(\displaystyle P\)-beli érintővel párhuzamos befogó. Innen következik, hogy \(\displaystyle \varphi=30^\circ\), továbbá
\(\displaystyle a_2=\frac{\sqrt3}2a_0,\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{2R}=\frac{\sqrt3}2a_0,\)
ahonnan a kérdéses idő:
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{\sqrt3R}{a_0}}\approx 0{,}48~\rm s.\)
Az autó sebessége ekkor
\(\displaystyle v=a_0t=1{,}44~\frac {\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
54 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Fehérvári Donát, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kollmann Áron Alfréd, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Sipeki Árpád, Szatmári András Gábor, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára. 4 pontot kapott: Arnold Lőrinc, Benes András, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Görcsös Ákos Attila, Hetényi Klára Tímea, Osváth Emese, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Tárnok Ede . 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző.
A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai