Problem P. 5432. (October 2022)

P. 5432. Three isolating beads having the same mass and given the same charge are stringed to a thin insulating stick fixed in a vertical position. The bottom bead is fixed and the above two beads are free to slide on the stick. At equilibrium, how many times further is the top bead from the middle bead than the middle bead from the bottom bead?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a gyöngyök tömege \(\displaystyle m\), töltésük \(\displaystyle Q\), az alsó és a fölötte lévő gyöngy távolsága \(\displaystyle d\), a legfelső és az alatta lévő gyöngy közötti távolság pedig \(\displaystyle xd\) (\(\displaystyle x\) a keresett arányszám).

Egyensúlyi állapotban bármelyik gyöngyre ható erők eredője nulla. Az erőegyensúly feltétele a középső gyöngyre

\(\displaystyle k\frac{Q^2}{d^2}=k\frac{Q^2}{(xd)^2}+mg, \)

a felső gyöngyre pedig

\(\displaystyle mg=k\frac{Q^2}{(xd)^2}+k\frac{Q^2}{(x+1)^2d^2}. \)

A fenti két egyenletet összeadva \(\displaystyle mg\)-t kiküszöbölhetjük, majd \(\displaystyle kQ^2/d^2\)-tel való egyszerűsítés után ezt kapjuk:

\(\displaystyle 1=\frac2{x^2}+\frac1{(x+1)^2}.\)

Ezt az egyenletet numerikusan megoldva (lásd pl. https://www.wolframalpha.com/) látjuk, hogy annak valós, pozitív gyöke:

\(\displaystyle x=1{,}5386\approx 1{,}5.\)

A felső gyöngy tehát kb. másfélszer messzebb lesz a középsőtől, mint az a legalsótól. Ez az arány nem függ sem a gyöngyök tömegétől, sem pedig a töltésüktől, ha azok egyforma nagyságúak.

Statistics:

46 students sent a solution.
5 points:	Arnold Lőrinc, Beke Bálint, Bencz Benedek, Bodré Zalán, Boér Panna Rita, Bogdán Benedek, Bognár 171 András Károly, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csernyik Péter, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Halász Sámuel, Hegedűs Máté Miklós, Juhász Júlia, Kovács Kristóf , Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Szabó Márton, Tárnok Ede , Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
4 points:	Molnár Zétény, Nemeskéri Dániel.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2022