 |
A P. 5432. feladat (2022. október) |
P. 5432. Egy függőleges helyzetben rögzített, vékony szigetelőpálcára három egyforma tömegű és egyenlő töltésű szigetelőgyöngyöt fűztünk fel. Az alsó gyöngy rögzített, a fölötte lévő másik kettő szabadon elcsúszhat a pálcán. Egyensúlyi helyzetben hányszor messzebb van a legfelső gyöngy a középsőtől, mint a középső a legalsótól?
Közli: Holics László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a gyöngyök tömege \(\displaystyle m\), töltésük \(\displaystyle Q\), az alsó és a fölötte lévő gyöngy távolsága \(\displaystyle d\), a legfelső és az alatta lévő gyöngy közötti távolság pedig \(\displaystyle xd\) (\(\displaystyle x\) a keresett arányszám).
Egyensúlyi állapotban bármelyik gyöngyre ható erők eredője nulla. Az erőegyensúly feltétele a középső gyöngyre
\(\displaystyle k\frac{Q^2}{d^2}=k\frac{Q^2}{(xd)^2}+mg, \)
a felső gyöngyre pedig
\(\displaystyle mg=k\frac{Q^2}{(xd)^2}+k\frac{Q^2}{(x+1)^2d^2}. \)
A fenti két egyenletet összeadva \(\displaystyle mg\)-t kiküszöbölhetjük, majd \(\displaystyle kQ^2/d^2\)-tel való egyszerűsítés után ezt kapjuk:
\(\displaystyle 1=\frac2{x^2}+\frac1{(x+1)^2}.\)
Ezt az egyenletet numerikusan megoldva (lásd pl. https://www.wolframalpha.com/) látjuk, hogy annak valós, pozitív gyöke:
\(\displaystyle x=1{,}5386\approx 1{,}5.\)
A felső gyöngy tehát kb. másfélszer messzebb lesz a középsőtől, mint az a legalsótól. Ez az arány nem függ sem a gyöngyök tömegétől, sem pedig a töltésüktől, ha azok egyforma nagyságúak.
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Arnold Lőrinc, Beke Bálint, Bencz Benedek, Bodré Zalán, Boér Panna Rita, Bogdán Benedek, Bognár 171 András Károly, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csernyik Péter, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Halász Sámuel, Hegedűs Máté Miklós, Juhász Júlia, Kovács Kristóf , Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Szabó Márton, Tárnok Ede , Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós. 4 pontot kapott: Molnár Zétény, Nemeskéri Dániel. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai