Problem P. 5433. (October 2022)

P. 5433. The three vertical sides of a cuboid-shaped aquarium filled with water, with negligible wall thickness, reflect the light from the water. The aquarium has a width of \(\displaystyle d=50\) cm and a length of \(\displaystyle L=120\) cm. A horizontal laser beam is incident on the shorter side of the aquarium at a certain angle of incidence. The figure shows the top view. (The refraction index of water is \(\displaystyle n=4/3\).)

The light beam – after being reflected several times – emerges from the aquarium parallel to the original incident light beam. At most how many reflections could occur?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A fény \(\displaystyle \alpha\) beesési szög esetén

\(\displaystyle \beta=\arcsin\frac{\sin\alpha}{n}\)

szögtben halad tovább a vízben. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha<1,\)

\(\displaystyle \beta<\arcsin\frac34=48{,}6^\circ.\)

A törés után a fénysugár többször tükröződhet az akvárium hosszabb oldalfalain és egyszer a rövidebben. Ha tükrözzük az akvárium felülnézeti ábráját az oldalfalakra és a hátsó falára, a fénysugár útja egyenessé válik (lásd az ábrát).

Tegyük fel, hogy mire a fénysugár visszaérkezik az akvárium tükrözésmentes falához (az ábrán a bal szélső egyeneshez), a hosszabb oldalakon \(\displaystyle k\)-szor verődik vissza. Amennyiben \(\displaystyle k\) páratlan szám, a másodszor is megtörő fénysugár az eredetivel párhuzamosan halad a levegőben. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a fény az ábrán halványszürkén jelölt sávok valamelyikében éri el a bal szélső vonalat. A geometriai viszonyokból adódik, hogy

\(\displaystyle (k-1)d< 2L\tg\beta<2L\cdot \tg48{,}6^\circ=272{,}2\ \rm cm,\)

vagyis

\(\displaystyle k< 6{,}4.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle k\) páratlan, \(\displaystyle k_\text{max}=5,\) vagyis (a rövidebb oldalon történő egyetlen visszaverődéssel együtt) a fénysugár legfeljebb 6-szor verődhet vissza.

Statistics:

28 students sent a solution.
5 points:	Arnold Lőrinc, Beke Bálint, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szatmári András Gábor, Tomesz László Gergő.
4 points:	Bálint Máté, Schmercz Blanka.
3 points:	1 student.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2022