Problem P. 5434. (October 2022)

P. 5434. The electromotive force of the voltage supply shown in the figure increases linearly in time after switching on, from an initial value of 0 volts; \(\displaystyle U(t)=U_0\frac{t}{t_0}\). The switch K can be closed at any moment to connect the voltage source to the circuit. After the voltage source is turned on, how much time should elapse till the switch is closed so that the current flowing through the resistor also increases linearly in time? At what rate does the current increase then?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az áramerősség a kapcsoló zárásának \(\displaystyle T\) időpontjában nulla, hiszen a tekercs önindukciója miatt nem tud hirtelen megindulni az áram. Emiatt (ha az áramerősség időben lineárisan változik)

\(\displaystyle I(t)=\lambda(t-T) \qquad (t>T),\)

ahol \(\displaystyle \lambda\) (az egyik kérdezett mennyiség) az áramerősség növekedési üteme.

Az ohmos ellenállásra jutó feszültség

\(\displaystyle U_1=RI(t)=R\lambda (t-T),\)

a tekercsben indukálódott feszültség pedig

\(\displaystyle U_2=L\frac{\Delta I(t)}{\Delta t}=L\lambda.\)

Fennáll, hogy

\(\displaystyle U(t)=U_1+U_2,\)

vagyis

\(\displaystyle U_0\frac{t}{t_0}=R\lambda (t-T)+L\lambda.\)

Ennek az összefüggésnek minden időpillanatban fenn kell állnia, például \(\displaystyle t=0\) pillanatban

\(\displaystyle L\lambda-R\lambda T=0,\qquad \text{vagyis}\qquad T=\frac{L}{R},\)

továbbá \(\displaystyle t\) együtthatója az összefüggés bal és jobb oldalán ugyanakkora kell legyen, azaz

\(\displaystyle \frac{U_0}{t_0}=R\lambda, \qquad \text{tehát}\qquad \lambda=\frac{U_0}{Rt_0}.\)

Statistics:

10 students sent a solution.
5 points:	Arnold Lőrinc, Bencz Benedek, Halász Henrik, Kollmann Áron Alfréd, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond.
4 points:	Klement Tamás, Vincze Farkas Csongor.

Problems in Physics of KöMaL, October 2022