Problem P. 5435. (October 2022)
P. 5435. A tube has an internal radius of \(\displaystyle R\), and its axis makes an angle of \(\displaystyle \alpha\) with the horizontal. The tube is rotated at a constant angular speed of \(\displaystyle \omega\) about its axis.
A small point-like body is inserted into the tube. The coefficient of kinetic friction between the wall of the tube and the small body is \(\displaystyle \mu\) (\(\displaystyle \mu>\tg\alpha\)). We find that after a sufficiently long time the small body undergoes uniform straight line motion. What is the speed of the motion?
(6 pont)
Deadline expired on November 15, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kis testre a következő erők hatnak:
1. Az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, amit célszerű felbontani egy forgástengely irányú, \(\displaystyle mg\sin\alpha\) nagyságú, valamint egy arra merőleges, \(\displaystyle mg\cos\alpha\) nagyságú komponensre (1. ábra).
1. ábra
2. Az \(\displaystyle S\) nagyságú súrlódási erő, amelynek egyik komponense (\(\displaystyle S_1\)) a \(\displaystyle v\) sebességű csúszással ellentétes irányú, tehát a forgástengellyel párhuzamos. A súrlódási erő másik komponense (\(\displaystyle S_2\)) a forgástengelyre merőleges és a cső érintősíkjában fekszik, ellentétes irányú a cső és a kis test érintkezési pontjánek \(\displaystyle R\omega\) nagyságú sebességével.
3. A cső fala valamekkora \(\displaystyle N\) nyomóerőt fejt ki a kis testre. Ez az erő a henger forgástengelyén is áthalad, arra merőleges hatásvonalú.
Tekintsük a hengernek a kis test pillanatnyi helyzetéhez tartozó keresztmetszetét (2. ábra). Ezen az ábrán \(\displaystyle \varphi\)-vel jelöltük azt a szöget, ami a kis test helyzetét (a cső fala menti ,,elfordulását'') jellemzi az elegendő hosszú idő után létrejövő állandósult csúszási állapotban. A test ekkor már nem gyorsul, egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
2. ábra
A kis testre ható erők eredője (vektori összege) ebben az állapotban nulla. Ezt a feltételt érdemes az erők komponenseinek összegével kifejezni. A forgástengely irányú erők eredője:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mg\sin\alpha-S_1=0. \) |
A forgástengelyre merőleges síkban az érintő irányú erők eredője:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle mg\cos\alpha\,\sin\varphi-S_2=0. \) |
A forgástengelyre merőleges síkban a sugár irányú (a forgástengelyen átmenő) erőkomponensekre fennáll:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle N-mg\cos\alpha\,\cos\varphi=0. \) |
Tudjuk még, hogy a csúszási súrlódásnál
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \sqrt{S_1^2+S_2^2}=\mu N,\) |
valamint azt, hogy a súrlódási erő iránya a csúszó test és a felület relatív sebességével párhuzamos és azzal ellentétes irányú, így
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{v}{R\omega}=\frac{S_1}{S_2}.\) |
Az (1)-(5) egyenletrendszer öt ismeretlent tartalmaz, ezek: \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle v\). (1)-ből és (2)-ből kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1')\) | \(\displaystyle S_1=mg\sin\alpha, \) |
valamint
| \(\displaystyle (2')\) | \(\displaystyle S_2=mg\cos\alpha\,\sin\varphi, \) |
továbbá (3) szerint
| \(\displaystyle (3')\) | \(\displaystyle N=mg\cos\alpha\,\cos\varphi. \) |
Ezeket (5)-be helyettesítve kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (5')\) | \(\displaystyle \frac{v}{R\omega}= \frac{\tg\alpha}{\sin\varphi}.\) |
(1'), (2') és (3')-t (4)-be helyettesítve, majd mindkét oldalt négyzetre emelve
\(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha\,\sin^2\varphi=\mu^2 \cos^2\alpha\,(1-\sin^2\varphi),\)
amiből
\(\displaystyle \tg^2\alpha+\sin^2\varphi=\mu^2-\mu^2\sin^2\varphi,\)
azaz
\(\displaystyle \sin\varphi=\sqrt{\frac{\mu^2-\tg^2\alpha}{1+\mu^2}}\)
adódik. Ezt (5')-be írva megkapjuk az egyenletes mozgás sebességét:
\(\displaystyle v=R\omega\cdot \tg\alpha\sqrt{\frac{1+\mu^2}{\mu^2-\tg^2\alpha}}.\)
Statistics:
9 students sent a solution. 6 points: Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek. 4 points: 2 students. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, October 2022