A P. 5435. feladat (2022. október)

P. 5435. Egy cső belső sugara $\displaystyle R$, tengelye $\displaystyle \alpha$ szöget zár be a vízszintessel. A csövet állandó $\displaystyle \omega$ szögsebességgel forgatjuk a tengelye körül.

A csőbe egy pontszerűnek tekinthető, kicsiny testet helyezünk. A cső fala és a kis test közötti csúszási súrlódási együttható $\displaystyle \mu$ ($\displaystyle \mu>\tg\alpha$). Azt tapasztaljuk, hogy kellően hosszú idő elteltével a kis test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Mekkora a mozgás sebessége?

Közli: Balogh Péter, Gödöllő

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A kis testre a következő erők hatnak:

1. Az $\displaystyle mg$ nehézségi erő, amit célszerű felbontani egy forgástengely irányú, $\displaystyle mg\sin\alpha$ nagyságú, valamint egy arra merőleges, $\displaystyle mg\cos\alpha$ nagyságú komponensre (1. ábra).

1. ábra

2. Az $\displaystyle S$ nagyságú súrlódási erő, amelynek egyik komponense ($\displaystyle S_1$) a $\displaystyle v$ sebességű csúszással ellentétes irányú, tehát a forgástengellyel párhuzamos. A súrlódási erő másik komponense ($\displaystyle S_2$) a forgástengelyre merőleges és a cső érintősíkjában fekszik, ellentétes irányú a cső és a kis test érintkezési pontjánek $\displaystyle R\omega$ nagyságú sebességével.

3. A cső fala valamekkora $\displaystyle N$ nyomóerőt fejt ki a kis testre. Ez az erő a henger forgástengelyén is áthalad, arra merőleges hatásvonalú.

Tekintsük a hengernek a kis test pillanatnyi helyzetéhez tartozó keresztmetszetét (2. ábra). Ezen az ábrán $\displaystyle \varphi$-vel jelöltük azt a szöget, ami a kis test helyzetét (a cső fala menti ,,elfordulását'') jellemzi az elegendő hosszú idő után létrejövő állandósult csúszási állapotban. A test ekkor már nem gyorsul, egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.

2. ábra

A kis testre ható erők eredője (vektori összege) ebben az állapotban nulla. Ezt a feltételt érdemes az erők komponenseinek összegével kifejezni. A forgástengely irányú erők eredője:

A forgástengelyre merőleges síkban az érintő irányú erők eredője:

A forgástengelyre merőleges síkban a sugár irányú (a forgástengelyen átmenő) erőkomponensekre fennáll:

Tudjuk még, hogy a csúszási súrlódásnál

valamint azt, hogy a súrlódási erő iránya a csúszó test és a felület relatív sebességével párhuzamos és azzal ellentétes irányú, így

Az (1)-(5) egyenletrendszer öt ismeretlent tartalmaz, ezek: $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$, $\displaystyle N$, $\displaystyle \varphi$ és $\displaystyle v$. (1)-ből és (2)-ből kapjuk, hogy

valamint

továbbá (3) szerint

Ezeket (5)-be helyettesítve kapjuk, hogy

(1'), (2') és (3')-t (4)-be helyettesítve, majd mindkét oldalt négyzetre emelve

$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha\,\sin^2\varphi=\mu^2 \cos^2\alpha\,(1-\sin^2\varphi),$

amiből

$\displaystyle \tg^2\alpha+\sin^2\varphi=\mu^2-\mu^2\sin^2\varphi,$

azaz

$\displaystyle \sin\varphi=\sqrt{\frac{\mu^2-\tg^2\alpha}{1+\mu^2}}$

adódik. Ezt (5')-be írva megkapjuk az egyenletes mozgás sebességét:

$\displaystyle v=R\omega\cdot \tg\alpha\sqrt{\frac{1+\mu^2}{\mu^2-\tg^2\alpha}}.$

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai