 |
A P. 5435. feladat (2022. október) |
P. 5435. Egy cső belső sugara \(\displaystyle R\), tengelye \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a vízszintessel. A csövet állandó \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forgatjuk a tengelye körül.
A csőbe egy pontszerűnek tekinthető, kicsiny testet helyezünk. A cső fala és a kis test közötti csúszási súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\) (\(\displaystyle \mu>\tg\alpha\)). Azt tapasztaljuk, hogy kellően hosszú idő elteltével a kis test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Mekkora a mozgás sebessége?
Közli: Balogh Péter, Gödöllő
(6 pont)
A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A kis testre a következő erők hatnak:
1. Az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, amit célszerű felbontani egy forgástengely irányú, \(\displaystyle mg\sin\alpha\) nagyságú, valamint egy arra merőleges, \(\displaystyle mg\cos\alpha\) nagyságú komponensre (1. ábra).
1. ábra
2. Az \(\displaystyle S\) nagyságú súrlódási erő, amelynek egyik komponense (\(\displaystyle S_1\)) a \(\displaystyle v\) sebességű csúszással ellentétes irányú, tehát a forgástengellyel párhuzamos. A súrlódási erő másik komponense (\(\displaystyle S_2\)) a forgástengelyre merőleges és a cső érintősíkjában fekszik, ellentétes irányú a cső és a kis test érintkezési pontjánek \(\displaystyle R\omega\) nagyságú sebességével.
3. A cső fala valamekkora \(\displaystyle N\) nyomóerőt fejt ki a kis testre. Ez az erő a henger forgástengelyén is áthalad, arra merőleges hatásvonalú.
Tekintsük a hengernek a kis test pillanatnyi helyzetéhez tartozó keresztmetszetét (2. ábra). Ezen az ábrán \(\displaystyle \varphi\)-vel jelöltük azt a szöget, ami a kis test helyzetét (a cső fala menti ,,elfordulását'') jellemzi az elegendő hosszú idő után létrejövő állandósult csúszási állapotban. A test ekkor már nem gyorsul, egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
2. ábra
A kis testre ható erők eredője (vektori összege) ebben az állapotban nulla. Ezt a feltételt érdemes az erők komponenseinek összegével kifejezni. A forgástengely irányú erők eredője:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mg\sin\alpha-S_1=0. \) |
A forgástengelyre merőleges síkban az érintő irányú erők eredője:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle mg\cos\alpha\,\sin\varphi-S_2=0. \) |
A forgástengelyre merőleges síkban a sugár irányú (a forgástengelyen átmenő) erőkomponensekre fennáll:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle N-mg\cos\alpha\,\cos\varphi=0. \) |
Tudjuk még, hogy a csúszási súrlódásnál
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \sqrt{S_1^2+S_2^2}=\mu N,\) |
valamint azt, hogy a súrlódási erő iránya a csúszó test és a felület relatív sebességével párhuzamos és azzal ellentétes irányú, így
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{v}{R\omega}=\frac{S_1}{S_2}.\) |
Az (1)-(5) egyenletrendszer öt ismeretlent tartalmaz, ezek: \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle v\). (1)-ből és (2)-ből kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1')\) | \(\displaystyle S_1=mg\sin\alpha, \) |
valamint
| \(\displaystyle (2')\) | \(\displaystyle S_2=mg\cos\alpha\,\sin\varphi, \) |
továbbá (3) szerint
| \(\displaystyle (3')\) | \(\displaystyle N=mg\cos\alpha\,\cos\varphi. \) |
Ezeket (5)-be helyettesítve kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (5')\) | \(\displaystyle \frac{v}{R\omega}= \frac{\tg\alpha}{\sin\varphi}.\) |
(1'), (2') és (3')-t (4)-be helyettesítve, majd mindkét oldalt négyzetre emelve
\(\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha\,\sin^2\varphi=\mu^2 \cos^2\alpha\,(1-\sin^2\varphi),\)
amiből
\(\displaystyle \tg^2\alpha+\sin^2\varphi=\mu^2-\mu^2\sin^2\varphi,\)
azaz
\(\displaystyle \sin\varphi=\sqrt{\frac{\mu^2-\tg^2\alpha}{1+\mu^2}}\)
adódik. Ezt (5')-be írva megkapjuk az egyenletes mozgás sebességét:
\(\displaystyle v=R\omega\cdot \tg\alpha\sqrt{\frac{1+\mu^2}{\mu^2-\tg^2\alpha}}.\)
Statisztika:
9 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai