Problem P. 5436. (November 2022)
P. 5436. Two cars, which can be considered to be point-like, are travelling at constant speed, each on a straight motorway towards the intersection of the motorways. (The angle between the two motorways is \(\displaystyle 90^\circ\).) The speed of car \(\displaystyle A\) is \(\displaystyle v_A=50\) km/h, the speed of car \(\displaystyle B\) is \(\displaystyle v_B=40\) km/h. At a given moment, the distance of the two cars from the intersection is \(\displaystyle d_A=20\) km, and \(\displaystyle d_B=36\) km.
\(\displaystyle a)\) what will the minimum distance between the two cars be?
\(\displaystyle b)\) How long will it be until they are closest?
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. A két autó pillanatnyi \(\displaystyle d\) távolságának négyzete a Pitagorasz-tétel szerint (1. ábra):
\(\displaystyle d^2=\left(d_{\rm A}-v_{\rm A}t\right)^2+\left(d_{\rm B}-v_{\rm B}t\right)^2 =(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)-2(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})t+(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)t^2. \)
1. ábra 2. ábra
Ez – \(\displaystyle d^2\)-et tekintve függvényértéknek a \(\displaystyle t\) változóban – egy felfelé nyitott parabola (2. ábra), aminek a csúcsa (tehát a minimuma) a
\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} \)
értéknél van. Itt
\(\displaystyle d_{\rm min}^2=\frac{(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)-(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} =\frac{(d_{\rm A}v_{\rm B}-d_{\rm B}v_{\rm A})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Adatainkkal:
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle d_{\rm min}=15{,}6\ {\rm km}\),
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle t_0=0{,}595\ \text{óra, azaz}\ 35{,}7\ {\rm min}\).
II. megoldás. Írjuk le a történetet az \(\displaystyle A\) autóhoz rögzített (tehát \(\displaystyle v_A\) sebességgel egyenletesen mozgó) koordináta-rendszerben. Ebben a rendszerben az \(\displaystyle A\) autó áll, a \(\displaystyle B\) autó pedig \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\) sebességgel mozog. A két autó ott kerül a legközelebb egymáshoz, ahol az \(\displaystyle A\) pont körül rajzolt \(\displaystyle d_{\rm min}\) sugarú kör éppen érinti a \(\displaystyle B\) autó pályáját.
3. ábra
Ha a \(\displaystyle B\) autó \(\displaystyle t\) idő alatt jut el az érintési pontba, akkor (amint az a 3. ábráról leolvasható) a következő összefüggések teljesülnek:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle d_{\rm min}\sin\alpha=v_At_0-d_A,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle d_{\rm min}\cos\alpha=d_B-v_Bt_0,\) |
ahol
\(\displaystyle v=\vert \boldsymbol v\vert=\sqrt{v_A^2+v_B^2}\qquad\text{és}\qquad \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}.\)
(1)-et (2)-vel elosztva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}=\frac{v_At_0-d_A}{d_B-v_Bt_0},\)
azaz
\(\displaystyle v_Bd_B-v_B^2t_0=v_A^2t_0-v_Ad_A,\)
tehát
\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Ezt (1)-be helyettesítve kifejezhetjük a legkisebb távolságot:
\(\displaystyle d_{\rm min}=\frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)
III. megoldás. A II. megoldás koordináta-rendszerét használjuk, de vektorokkal és vektorműveletekkel számolunk. Legyen a \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle A\) felé mutató vektor az adott (,,kezdeti'') pillanatban
\(\displaystyle \boldsymbol d=\left(d_A, d_B \right),\)
és \(\displaystyle B\) sebessége \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\).
A két autó helyvektorának különbsége tetszőleges \(\displaystyle t\) időpillanatban:
\(\displaystyle \boldsymbol r=\boldsymbol d-\boldsymbol v t\)
A két autó abban a \(\displaystyle t_0\) pillanatban van legközelebb egymáshoz, amikor \(\displaystyle \boldsymbol r\) merőleges \(\displaystyle \boldsymbol v\)-re (lásd a 4. ábrát).
4. ábra
Ezt a vektorok skalárszorzatával is kifejezhetjük:
\(\displaystyle \boldsymbol v{\boldsymbol \cdot}\left(\boldsymbol d-\boldsymbol v t_0\right)=0,\)
azaz
\(\displaystyle t_0= \dfrac{\boldsymbol d{\boldsymbol \cdot} \boldsymbol v }{v^2 }=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Az autók közötti legkisebb távolságot a \(\displaystyle \boldsymbol d\) vektor és a \(\displaystyle \boldsymbol v\) irányú egységvektor vektoriális szorzatának nagysága adja meg:
\(\displaystyle d_{\rm min}=\left\vert \boldsymbol d \times \frac{\boldsymbol v}{v}\right\vert= \frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)
Statistics:
91 students sent a solution. 4 points: 60 students. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 4 students. 0 point: 10 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, November 2022