A P. 5436. feladat (2022. november)

P. 5436. Két, egymást merőlegesen keresztező egyenes autópályán egy-egy pontszerűnek tekinthető autó a kereszteződési pont felé tart állandó nagyságú sebességgel. Az $\displaystyle A$ jelű autó sebessége $\displaystyle v_A = 50$ km/h, a $\displaystyle B$ jelű autóé $\displaystyle v_B = 40$ km/h. Egy adott időpontban a két autó a kereszteződési ponttól mért távolsága $\displaystyle d_A = 20$ km, illetve $\displaystyle d_B = 36$ km.

$\displaystyle a)$ Mekkora lesz köztük a minimális távolság?

$\displaystyle b)$ Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz legközelebb?

Közli:Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. A két autó pillanatnyi $\displaystyle d$ távolságának négyzete a Pitagorasz-tétel szerint (1. ábra):

$\displaystyle d^2=\left(d_{\rm A}-v_{\rm A}t\right)^2+\left(d_{\rm B}-v_{\rm B}t\right)^2 =(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)-2(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})t+(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)t^2.$

1. ábra                                          2. ábra

Ez – $\displaystyle d^2$-et tekintve függvényértéknek a $\displaystyle t$ változóban – egy felfelé nyitott parabola (2. ábra), aminek a csúcsa (tehát a minimuma) a

$\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}$

értéknél van. Itt

$\displaystyle d_{\rm min}^2=\frac{(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)-(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} =\frac{(d_{\rm A}v_{\rm B}-d_{\rm B}v_{\rm A})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}.$

Adatainkkal:

$\displaystyle a)$ $\displaystyle d_{\rm min}=15{,}6\ {\rm km}$,

$\displaystyle b)$ $\displaystyle t_0=0{,}595\ \text{óra, azaz}\ 35{,}7\ {\rm min}$.

II. megoldás. Írjuk le a történetet az $\displaystyle A$ autóhoz rögzített (tehát $\displaystyle v_A$ sebességgel egyenletesen mozgó) koordináta-rendszerben. Ebben a rendszerben az $\displaystyle A$ autó áll, a $\displaystyle B$ autó pedig $\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)$ sebességgel mozog. A két autó ott kerül a legközelebb egymáshoz, ahol az $\displaystyle A$ pont körül rajzolt $\displaystyle d_{\rm min}$ sugarú kör éppen érinti a $\displaystyle B$ autó pályáját.

3. ábra

Ha a $\displaystyle B$ autó $\displaystyle t$ idő alatt jut el az érintési pontba, akkor (amint az a 3. ábráról leolvasható) a következő összefüggések teljesülnek:

ahol

$\displaystyle v=\vert \boldsymbol v\vert=\sqrt{v_A^2+v_B^2}\qquad\text{és}\qquad \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}.$

(1)-et (2)-vel elosztva kapjuk, hogy

$\displaystyle \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}=\frac{v_At_0-d_A}{d_B-v_Bt_0},$

azaz

$\displaystyle v_Bd_B-v_B^2t_0=v_A^2t_0-v_Ad_A,$

tehát

$\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}.$

Ezt (1)-be helyettesítve kifejezhetjük a legkisebb távolságot:

$\displaystyle d_{\rm min}=\frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.$

III. megoldás. A II. megoldás koordináta-rendszerét használjuk, de vektorokkal és vektorműveletekkel számolunk. Legyen a $\displaystyle B$-ből $\displaystyle A$ felé mutató vektor az adott (,,kezdeti'') pillanatban

$\displaystyle \boldsymbol d=\left(d_A, d_B \right),$

és $\displaystyle B$ sebessége $\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)$.

A két autó helyvektorának különbsége tetszőleges $\displaystyle t$ időpillanatban:

$\displaystyle \boldsymbol r=\boldsymbol d-\boldsymbol v t$

A két autó abban a $\displaystyle t_0$ pillanatban van legközelebb egymáshoz, amikor $\displaystyle \boldsymbol r$ merőleges $\displaystyle \boldsymbol v$-re (lásd a 4. ábrát).

4. ábra

Ezt a vektorok skalárszorzatával is kifejezhetjük:

$\displaystyle \boldsymbol v{\boldsymbol \cdot}\left(\boldsymbol d-\boldsymbol v t_0\right)=0,$

azaz

$\displaystyle t_0= \dfrac{\boldsymbol d{\boldsymbol \cdot} \boldsymbol v }{v^2 }=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}.$

Az autók közötti legkisebb távolságot a $\displaystyle \boldsymbol d$ vektor és a $\displaystyle \boldsymbol v$ irányú egységvektor vektoriális szorzatának nagysága adja meg:

$\displaystyle d_{\rm min}=\left\vert \boldsymbol d \times \frac{\boldsymbol v}{v}\right\vert= \frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.$

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai