 |
A P. 5436. feladat (2022. november) |
P. 5436. Két, egymást merőlegesen keresztező egyenes autópályán egy-egy pontszerűnek tekinthető autó a kereszteződési pont felé tart állandó nagyságú sebességgel. Az \(\displaystyle A\) jelű autó sebessége \(\displaystyle v_A = 50\) km/h, a \(\displaystyle B\) jelű autóé \(\displaystyle v_B = 40\) km/h. Egy adott időpontban a két autó a kereszteződési ponttól mért távolsága \(\displaystyle d_A = 20\) km, illetve \(\displaystyle d_B = 36\) km.
\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz köztük a minimális távolság?
\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz legközelebb?
Közli:Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. A két autó pillanatnyi \(\displaystyle d\) távolságának négyzete a Pitagorasz-tétel szerint (1. ábra):
\(\displaystyle d^2=\left(d_{\rm A}-v_{\rm A}t\right)^2+\left(d_{\rm B}-v_{\rm B}t\right)^2 =(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)-2(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})t+(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)t^2. \)
1. ábra 2. ábra
Ez – \(\displaystyle d^2\)-et tekintve függvényértéknek a \(\displaystyle t\) változóban – egy felfelé nyitott parabola (2. ábra), aminek a csúcsa (tehát a minimuma) a
\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} \)
értéknél van. Itt
\(\displaystyle d_{\rm min}^2=\frac{(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)-(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} =\frac{(d_{\rm A}v_{\rm B}-d_{\rm B}v_{\rm A})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Adatainkkal:
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle d_{\rm min}=15{,}6\ {\rm km}\),
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle t_0=0{,}595\ \text{óra, azaz}\ 35{,}7\ {\rm min}\).
II. megoldás. Írjuk le a történetet az \(\displaystyle A\) autóhoz rögzített (tehát \(\displaystyle v_A\) sebességgel egyenletesen mozgó) koordináta-rendszerben. Ebben a rendszerben az \(\displaystyle A\) autó áll, a \(\displaystyle B\) autó pedig \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\) sebességgel mozog. A két autó ott kerül a legközelebb egymáshoz, ahol az \(\displaystyle A\) pont körül rajzolt \(\displaystyle d_{\rm min}\) sugarú kör éppen érinti a \(\displaystyle B\) autó pályáját.
3. ábra
Ha a \(\displaystyle B\) autó \(\displaystyle t\) idő alatt jut el az érintési pontba, akkor (amint az a 3. ábráról leolvasható) a következő összefüggések teljesülnek:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle d_{\rm min}\sin\alpha=v_At_0-d_A,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle d_{\rm min}\cos\alpha=d_B-v_Bt_0,\) |
ahol
\(\displaystyle v=\vert \boldsymbol v\vert=\sqrt{v_A^2+v_B^2}\qquad\text{és}\qquad \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}.\)
(1)-et (2)-vel elosztva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}=\frac{v_At_0-d_A}{d_B-v_Bt_0},\)
azaz
\(\displaystyle v_Bd_B-v_B^2t_0=v_A^2t_0-v_Ad_A,\)
tehát
\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Ezt (1)-be helyettesítve kifejezhetjük a legkisebb távolságot:
\(\displaystyle d_{\rm min}=\frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)
III. megoldás. A II. megoldás koordináta-rendszerét használjuk, de vektorokkal és vektorműveletekkel számolunk. Legyen a \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle A\) felé mutató vektor az adott (,,kezdeti'') pillanatban
\(\displaystyle \boldsymbol d=\left(d_A, d_B \right),\)
és \(\displaystyle B\) sebessége \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\).
A két autó helyvektorának különbsége tetszőleges \(\displaystyle t\) időpillanatban:
\(\displaystyle \boldsymbol r=\boldsymbol d-\boldsymbol v t\)
A két autó abban a \(\displaystyle t_0\) pillanatban van legközelebb egymáshoz, amikor \(\displaystyle \boldsymbol r\) merőleges \(\displaystyle \boldsymbol v\)-re (lásd a 4. ábrát).
4. ábra
Ezt a vektorok skalárszorzatával is kifejezhetjük:
\(\displaystyle \boldsymbol v{\boldsymbol \cdot}\left(\boldsymbol d-\boldsymbol v t_0\right)=0,\)
azaz
\(\displaystyle t_0= \dfrac{\boldsymbol d{\boldsymbol \cdot} \boldsymbol v }{v^2 }=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)
Az autók közötti legkisebb távolságot a \(\displaystyle \boldsymbol d\) vektor és a \(\displaystyle \boldsymbol v\) irányú egységvektor vektoriális szorzatának nagysága adja meg:
\(\displaystyle d_{\rm min}=\left\vert \boldsymbol d \times \frac{\boldsymbol v}{v}\right\vert= \frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)
Statisztika:
91 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 60 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai